Задача 3.

Внутри горизонтально расположенного плоского конденсатора с площадью обкладок и расстоянием между ними находится пластина из стекла, целиком заполняющая пространство между обкладками конденсатора. Какую работу необходимо совершить, чтобы удалить пластинку? Конденсатор подсоединен к батарее с эдс В. Диэлектрическая проницаемость стекла . Силами трения пренебречь (рис. 6.1).

а б

Рис. 6.1

Решение.

Электрическое поле между обкладками конденсатора поляризует диэлектрик и втягивает его в область более сильного поля. Поэтому сила , которая вытаскивает пластинку, будет изменяться. Работу этой силы можно найти из закона сохранения энергии: изменение энергии конденсатора равно сумме работ, совершаемых всеми силами, действующими в данной системе.

где – работа силы ; – работа силы тяжести; – работа силы реакции; – работа сторонних сил источник тока.

и , так как силы и перпендикулярны перемещению.

Работа сторонних сил:

где – изменение заряда конденсатора (заряд, протекающий через источник), ,

– заряд на обкладках конденсатора с диэлектриком;

– заряд на обкладках конденсатора без диэлектрика.

Следовательно,

Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле ,

так как конденсатор не отключается от источника, то разность потенциалов между его обкладками остается постоянной, равной эдс батареи: .

Энергия конденсатора с диэлектриком:

, где – емкость конденсатора с диэлектриком.

Энергия конденсатора без диэлектрика:

, где – емкость конденсатора в отсутствии диэлектрика.

Следовательно,

;

Выразим величину в системе СИ:

, .

В результате вычислений получаем .

Задача 4.Четыре одинаковых шарика с одинаковыми одноименными зарядами
(рис. 6.2) связаны одинаковыми нерастяжимыми нитями. Докажите, что равновесие достигается, когда шарики располагаются в вершинах квадрата. На шарики действуют только кулоновские силы и силы натяжения нитей.

Решение.

Шарики будут отталкиваться друг от друга, так как они имеют одноименные заряды. Поэтому все четыре нити натянуты и, следовательно, при равновесии шарики располагаются в вершинах ромба. Обозначим угол между стороной ромба и большой диагональю (рис. 6.2).

Тогда длины диагоналей будут:

, ,

где – сторона ромба.

Шарики будут находиться в положении устойчивого равновесия, если потенциальная энергия кулоновского взаимодействия шариков минимальна. Так как расстояния между соседними шариками не меняются (длина нити ), то достаточно рассмотреть энергию взаимодействия шариков на одной диагонали, т. е.

где .

Для определения минимального значения потенциальной энергии находим производную и приравниваем ее к нулю:

откуда следует:

, значит, убывает при изменении угла от до и возрастает при изменении угла от до . Минимальное значение достигается при , когда ромб превращается в квадрат.

Задача 5.Плоский воздушный конденсатор, расстояние, между вертикальными обкладками которого равно , заряженный до напряжения , расположен так, что обкладки касаются жидкого диэлектрика, находящегося в широком сосуде. Определите высоту поднятия жидкости в пространстве между обкладками, если ее плотность равна , диэлектрическая проницаемость равна , а высота обкладок – (рис. 6.3).

Решение.

Систему «конденсатор – жидкость, поднявшаяся между его обкладками – гравитационное поле Земли» можно считать, замкнутой, если пренебречь силами вязкого трения и силами поверхностного натяжения. Такая система может быть описана законом сохранения энергии.

Нулевой уровень потенциальной энергии в гравитационном поле Земли выберем на горизонтали, расположенной на уровне поверхности жидкости в сосуде. Перед касанием обкладок и жидкости потенциальная энергия системы равна энергии воздушного конденсатора ,

где – электроемкость воздушного конденсатора;

– заряд конденсатора в начальный момент времени.

Следовательно,

После касания обкладок жидкости, она поляризуется и втягивается в пространство между обкладками. Так как заряд на пластинах конденсатора не меняется (источник отключен), а емкость увеличивается (после поднятия жидкости на высоту конденсатор превращается в два конденсатора, соединенных параллельно), то энергия поля уменьшается. Это уменьшение компенсируется увеличением потенциальной энергии столба жидкости между обкладками.

Энергия системы после поднятия жидкости на высоту будет:

где – энергия заряженного конденсатора; – потенциальная энергия столба жидкости (учли, что центр масс части жидкости , втянутой между пластинами, оказался на высоте ),

Емкость системы можно найти как сумму двух электроемкостей:
– электроемкость между частью пластин, находящейся в воздухе, и
– электроемкость той части пластин, которая находится в жидкости

; ,

тогда .

По закону сохранения энергии:

или , откуда .

Подставим в полученные уравнения значения заряда , емкостей и и массы , получаем уравнение:

после математических преобразований получаем:

отсюда искомая высота поднятия жидкости

Задача 6.Сплошной эбонитовый шар радиусом см заряжен равномерно с объемной плотностью . Определите энергию электростатического поля, заключенную внутри шара.