Методические указания

В отличие от напряжённости потенциал не векторная, а скалярная величина. Причём потенциал – величина алгебраическая, т.е. он может быть как положительным, так и отрицательным. Потенциал поля, созданного положительным зарядом в некоторой точке окружающего пространства, тоже положителен, а потенциал поля, созданного отрицательным зарядом, тоже отрицателен. Потенциал поля, созданного в данной точке системой положительных и отрицательных зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов полей, созданных каждым зарядом в отдельности с учётом их знаков.

Физический смысл имеет не сам потенциал, а лишь его изменение (разность потенциалов, или напряжение). Формула (3.14) справедлива лишь при условии, что величина потенциальной энергии взаимодействия электрических зарядов, удалённых на бесконечно большое расстояние, условно принимается равной нулю . При этом же условии справедливы формулы (3.2), (3.4) и (3.5). При решении задач, связанных с определением потенциала электрического поля шарового проводника или величин, зависящих от потенциала, следует помнить, что потенциал каждой точки поля внутри проводника с неподвижными на его поверхности зарядами одинаков. Например, на рис. 3.1, а потенциал поля в точках 1 и 2 внутри сферы радиусом , несущей заряд , одинаков и равен .

Если внутрь сферы поместить заряд (рис. 3.1, б), то результирующий потенциал точек внутри сферы (если заряд расположен в центре сферы) будет равен сумме потенциалов: потенциалу поля заряда и потенциалу поля заряда сферы . Тогда результирующий потенциал в точке 1 , а результирующий потенциал в точке 2:

.

Следует помнить, что при помещении проводника в электрическое поле, в результате явления электростатической индукции изменяются потенциал и напряжённость поля в пространстве вокруг проводника. Только если известно распределение всех зарядов, в том числе и зарядов, индуцированных на проводнике, можно найти потенциал в данной точке поля. В курсе общей физики обычно ограничиваются случаями, в которых в силу симметрии можно найти распределение индуцированных зарядов на проводнике или пренебречь этим распределением.

В основе общего метода определения разности потенциалов лежит соотношение (3.12), связывающее разность потенциалов двух точек поля с напряжённостью поля в пространстве между этими точками. Интегрирование в этом случае можно производить по любому пути, соединяющему две точки.

Примеры решения задач

Задача 1.В точке 1 поля точечного заряда потенциал В, а в точке 2 В. Найти потенциал в точке , лежащей посередине между точками 1 и 2 (рис. 3.2).

Решение.

Потенциал поля точечного заряда определяем по формуле: .

Применительно к точкам 1, 2 и эту формулу можно записать так:

; (1)

; (2)

. (3)

Разделим (1) на (2) и (1) на (3), получим:

; (4)

. (5)

Выразим из уравнения (4) величину :

. (6)

Выражение (6) подставим в (5):

,

откуда следует:

.

Подставим числовые значения и произведём вычисления:

Задача 2.В трёх вершинах квадрата со стороной см находятся заряды 10 нКл, 20 нКл и –20 нКл. Определить потенциалы и электрического поля, созданного этими зарядами в четвёртой вершине квадрата и в его центре.

Решение.

В данной задаче рассматривается система зарядов , и , два из которых положительные, а один – отрицательный.

Согласно принципу суперпозиции полей потенциал поля, созданного системой зарядов в точке (рис. 3.3), будет равен: , а в точке потенциал равен: .

Потенциал поля точечного заряда определяется соотношением .

Применительно к данной задаче

, , ,

, , .

Расстояние находим по теореме Пифагора

.

Из математики известно, что диагонали квадрата в центре его делятся пополам, кроме того, диагонали квадрата равны, поэтому

.

Следовательно, потенциалы и будут равны:

;

.

Выразим в системе СИ все величины, входящие в полученные формулы, м, Кл, Кл, Кл, (воздух), .

Выполнив вычисления, получим:

В; В.

Задача 3.Тонкий диск радиуса равномерно заряжен с поверхностной плотностью . Найти потенциал поля в точке , лежащей на оси диска на расстоянии от него (рис. 3.4)

Решение.

Заряженный диск в данной задаче нельзя считать точечным зарядом, поэтому для нахождения потенциала поля, созданного диском в точке , воспользуемся принципом суперпозиции полей. Для этого разобьём диск на элементарные кольца радиуса и толщиной . Заряд такого кольца , где – это площадь выделенного кольца, которая будет .

Следовательно . Потенциал поля, созданного зарядом в точке , будет определяться соотношением

.

Расстояние находим по теореме Пифагора:

.

Следовательно, .

Интегрируя последнее выражение, находим потенциал поля в точке , созданного заряженным диском,

.

Задача 4.Две концентрические металлические сферы радиусами см и см имеют соответственно заряды и нКл. Пространство между сферами заполнено эбонитом . Определить потенциал электрического поля на расстояниях см, см и см от центра сфер.

Решение.

По теореме Гаусса напряжённость поля в точках , и будет:

, .

Так как в нашем случае потенциал непрерывен, то, используя связь (3.10) между напряжённостью и потенциалом, можно было бы определить значения потенциала в любой точке, если бы был известен потенциал в какой-либо точке. Таким известным потенциалом является потенциал в точке : , так как он создается свободными зарядами (между сферами имеются еще связанные заряды), или потенциал на поверхности второй сферы .

Проинтегрируем выражение , где , по в пределах от до , получаем

.

Отсюда определяем потенциал в точке :

.

Интегрируя в пределах от до , находим

, отсюда определяем :

.

Выразим все величины в системе СИ:

м, м, Кл, Кл, ,

м, м, м.

Выполнив вычисления, получим:

.

Задача 5.Заряд равномерно распределён по объёму шара радиуса . Полагая диэлектрическую проницаемость всюду равной единице, найти потенциал: a) в центре шара; б) внутри шара, как функцию расстояния от его центра.

Решение.

Потенциал поля равен работе электростатических сил при переносе единого положительного заряда из данной точки в бесконечность, т. е. , где – напряжённость поле заряженного шара.

Напряженность поля внутри шара определяем по теореме Гаусса:

,

где – объёмная плотность заряда, – элементарный объём, выделенный внутри шара; – площадь гауссовой поверхности; – электрическая постоянная.

Произведя интегрирование, получаем:

.

Объёмная плотность заряда , тогда .

Поле вне шара определяется формулой

.

Следовательно, потенциал точки r

,

откуда потенциал в центре шара

.

Задача 6.Какую работу нужно совершить, чтобы переместить точечный заряд Кл внутрь металлической заряженной сферы радиусом 0,15 м, имеющей заряд Кл, из точки, находящейся на расстоянии 0,24 м от поверхности сферы в точку, удалённую от неё на 0,05 м? В обоих случаях считать, что заряд равномерно распределён по сфере.

Решение.

1) Работа внешних сил по перемещению заряда из одной точки поля в другую равна по модулю работе электрического поля по перемещению заряда, но противоположна ей по знаку, т.е.

,

работа сил электрического поля равна убыли потенциальной энергии взаимодействия зарядов. В данном случае точечный заряд взаимодействует с зарядом сферы.

, тогда

Учитывая, что электрическое поле внутри заряженной сферы отсутствует, а потенциал самой сферы и любой точки внутри неё одинаков и, следовательно, работа кулоновских сил при перемещении точечного заряда внутри сферы равна нулю, получаем:

, (1)

где – потенциальная энергия взаимодействия зарядов, когда заряд находится вблизи поверхности сферы, – потенциальная энергия зарядов, когда заряд находится в начальном положении.

Подставляя числовые значения физических величин в формулу (1) и учитывая, что , получаем:

.

Во втором случае потенциальная энергия взаимодействия зарядов будет

, следовательно,

.

Произведём вычисления:

.

Задача 7.Альфа-частица, вылетающая при радиоактивном распаде из ядра атома радия со скоростью м/с, движется к неподвижному ядру натрия. На какое наименьшее расстояние приблизится – частица к этому ядру?

Решение.

Систему «ядро натрия – -частица» можно считать замкнутой и консервативной и применить к ней закон сохранения энергии.

Полная энергия частицы, движущийся в потенциальном поле ядра натрия, будет равна сумме кинетической и потенциальной энергий:

,

где , .

Потенциальная энергия частицы при бесконечном удалении её от заряда, создающего поле, стремится к нулю, т.е. .

Движение возможно до тех пор, пока частица обладает кинетической энергией. При приближении к ядру кинетическая энергия -частицы уменьшается и на расстоянии . Однако по мере приближения к ядру будет возрастать потенциальная энергия до значения .

Согласно закону сохранения энергии

, т. е.

, или ,

откуда следует: , где – масса -частицы, – заряд -частицы, – заряд ядра натрия, – минимальное расстояние, на которое – частица приблизится к ядру.

; ; ; ,

– элементарный заряд.

Подстановка числовых данных даёт: м.

Задача 8.Два заряда нКл и нКл расположены в вершинах и прямоугольника (рис. 3.7) на расстоянии см друг от друга. Из вершины в вершину этого прямоугольника перемещают заряд нКл. Какая работа совершается при этом перемещении? Сторона см, среда – воздух.

Решение.

Каждый из зарядов создаёт в вершинах и электрическое поле. Потенциал поля , созданный в точке с зарядом , , а зарядом в этой же точке: .

Суммарный потенциал поля в точке определяется по принципу суперпозиции:

, (1)

где – длина диагонали прямоугольника.

Потенциалы полей и , созданных зарядами и в точке :

.

Общий потенциал точки :

. (2)

Работа сил электрического поля при перемещении заряда из вершины в вершину определяется выражением

. (3)

С учётом формул (1) и (2) выражение (3) запишем в виде

Выразим все величины, входящие в данное уравнение, в системе СИ:

Кл; Кл; м; м; Кл;

; .

Подстановка числовых значений даёт

,

Знак «–» означает, что работу совершают внешние силы.

Задача 9.Два маленьких шарика с зарядами и соединены между собой лёгким непроводящим стержнем длиной . Стержень расположен вдоль силовых линий однородного электрического поля, созданного большой заряженной плоскостью, по которой равномерно распределён заряд с поверхностной плотностью . Какую работу нужно совершить, чтобы повернуть стержень на угол ?

Решение.

Работа сил электрического поля равна убыли потенциальной энергии зарядов и в поле заряженной плоскости:

,

где – потенциальная энергия зарядов в начальном состоянии; и – потенциалы точек поля, в которых располагаются заряды и ; – потенциальная энергия зарядов после поворота на угол (рис. 3.8).

Тогда . Разность потенциалов найдём, используя взаимосвязь (3-10) между напряжённостью поля и потенциалом :

,

где – элементарное перемещение в направлении, перпендикулярном плоскости.

Напряжённость поля заряженной плоскости определяется формулой , поэтому , интегрируя данное выражение, получаем:

,

где – расстояние между точками с потенциалом и .

Следовательно, работа будет

.

Работа внешних сил равна по модулю работе сил поля и противоположна ей по знаку:

.

Задача 10.Электрон пролетел по силовой линии однородного электрического поля из точки 1 с потенциалом В, имея скорость м/с в точке 1. Найти скорость электрона в точке 2, изменение его кинетической и потенциальной энергии.

Решение.

Потенциал точки 1 ниже потенциала точки 2, следовательно, электрон движется в сторону повышения потенциала, т.е. против направления напряженности электрического поля (рис. 3.9) На электрон будет действовать ускоряющая сила со стороны поля, поэтому скорость электрона (и кинетическая энергия) будет увеличиваться.

Работа сил поля при перемещении электрона из точки 1 в точку 2 равна изменению его кинетической энергии: ,

где , ,

работу поля можно также выразить через разность потенциалов:

, где – заряд электрона.

Следовательно, получаем выражение:

, откуда

и .

Изменение кинетической энергии

.

Изменение потенциальной энергии равно работе электрического поля, взятой со знаком «минус»: .

Выразим величины в системе СИ:

В; В; м/с; Кл; кг.

Произведём вычисления и получим:

м/с; Дж; Дж.

Задача 11.Две частицы, имеющие массу и заряд , летят из бесконечности навстречу друг другу со скоростями и . На какое минимальное расстояние сблизятся частицы, и как они будут двигаться после этого?

Решение.

Силы взаимодействия двух заряженных частиц являются для системы внутренними силами. Внутренние силы не могут изменить импульс системы, т. е. .

Для минимального расстояния это выражение будет иметь вид

,

где – скорость обеих частиц в этот момент времени,

, вектор направлен вдоль вектора .

Полная энергия системы на бесконечности равна сумме кинетических энергий частиц:

.

На расстоянии полная энергия определяется суммой кинетической энергии центра масс системы и потенциальной энергии кулоновского взаимодействия частиц, т. е.

по закону сохранения энергии или

,

, откуда

Выразим :

, где .

После сближения на минимальное расстояние центр масс системы будет продолжать двигаться со скоростью . Обе частицы будут двигаться в противоположные стороны с одинаковыми относительно центра масс скоростями. Скорости частиц относительно центра масс будут со временем возрастать.

Задача 12. Через блок переброшена лёгкая проводящая струна длиной . На концах струны находятся два металлических груза массами и . Система приходит в ускоренное движение. Определите разность потенциалов между грузами. Трением на блоке и размерами грузов пренебречь. Масса и заряд электрона соответственно равны и .

Решение.

Рассмотрим движение грузов относительно неподвижной системы отсчёта. Запишем уравнения второго закона Ньютона для грузов (рис. 3.10):

;

.

В силу невесомости струны , а в силу нерастяжимости струны ускорения обоих грузов равны .

Поэтому в проекциях на ось уравнения движения грузов будут иметь вид

(1)

. (2)

Вычтем из уравнения (2) уравнение (1):

, отсюда следует:

. (3)

С таким же ускорением движутся свободные электроны в струне и грузах. В момент начала ускоренного движения проводников (струны и грузов) электронный газ свободных электронов остаётся в покое относительно неподвижной системы отсчёта.

Движущиеся проводники смещаются относительно электронного газа. В результате в области груза образуется избыток свободных электронов, а в области груза – их недостаток. Поэтому потенциал груза повышается, груза – понижается, следовательно, между грузами и возникает разность потенциалов .

Разность потенциалов между грузами примет неизменное значение в тот момент, когда ускоряющая сила со стороны электрического поля в проводниках сообщит свободным электронам ускорение системы, т. е. ,

где – напряжённость поля между грузами, – модуль заряда электрона.

, тогда , откуда следует

. (4)

С учетом формулы (3) формула (4) принимает вид

.