Интегрирование тригонометрических функций.

Интегралы типа sin^mx cosⁿx dx , где m или nНЕчетное число ( 8 )

Используем метод подведения функции под знак дифференциала

sin^2m x cos²ⁿ⁺¹x dx = sin^2m x cos²ⁿ x cos x dx= sin^2m x cos²ⁿ x d(sin x) =

= sin^2m x (1 – sin²x)ⁿ d(sin x) = u^2m(1 – u²)ⁿ du

Пр. = = - = -

sin³x dx = sin²x sin x dx = - (1-cos²x)d(cos x) = - (1–t²)dt = -cos x + cos³x/3 +C

sin²x cos x dx,

Интегралы типа sin^mx cosⁿx dx , где m и nчетные числа ( 9 )

Метод понижения степени по формулам

sin²x = ½ (1 – cos 2x) ; cos²x = ½ (1 + cos 2x) ; sin x cos x = ½ sin 2x

или замена tg x = t(см. ниже)

Пр. sin²x dx = ½ (1 – cos 2x) dx = ½ dx - ¼ cos 2x d(2x) = x/2 - ¼ sin 2x +C

sin²x cos²x dx , cos⁴x dx

Интегралы типа sin ax cos bx dxпо формулам ( 10 )

sin a cos b = ½[sin(a+b) + sin(a-b)] ; cos a cos b = ½[cos(a+b) + cos(a-b)]

sin a sin b = ½[cos(a-b) – cos(a+b)]

Пр. sin 3x cos x dx = ½ (sin 4x + sin 2x)dx = -1/8 cos 4x - ¼ cos 2x + C

sin 5x cos 3x dx

Интегралы типа R(tg(x), sin²ⁿ x, cos^2mx) dxЗамена tg x = t ,тогда ( 11 )

= (1 + tg²x) dx = dt dx = dt/(1+t²), x = arctg t

cos²x = = , sin²x = (1 – cos²x) =

Пр. tg³x dx = t³/ (1+t²) dt = (t³ + t – t)/ (1+t²) dt = t dt - t/(1+t²) dt =

= t²/2 - ½ d(1+t²)/ (1+t²) = ½ tg²x – ½ ln |1+tg²x| + C

Пр. = = (t ^-4 + t ^–2 ) dt = - (tg x)^-3 /3 - (tg x) ^–1 + C

Универсальная замена tg x/2 = tв интегралах R(sin x,cos x) dxудобна, когда sin x , cos xвходят в R( )в 1-ой степени,тогда sin x = , cos x = , dx =

и приходим к интегралу от рациональной алгебраической дроби.

{ sin x = 2sin x/2 cos x/2 = 2 cos²x/2 = ;( 12 )

cos x = cos²x/2 – sin²x/2 = cos²x/2 ( 1 - ) = cos²x/2 ( 1 – t²) = }

Пр. = { 1 + sin x = 1 + = } = 2 =

= 2 = 2 = + C

;