Интегрирование иррациональных функций.

Опр.Функция наз. иррациональной, если она содержит аргумент, различные корни из аргумента и выражения с аргументом.

Пр. ,

Интегралы типа R(x, , , . . .) dx( 13 )

Для всех показателей корней найдемНОК ( k₁, k₂, . . . , k_m ) = n ,тогда все n/k_i -целые числа и подстановка x = tⁿисключит все корни.

Пр. J = = { НОК(2,3) = 6, пусть x = t⁶ , тогда dx = 6t⁵dt , t = x^1/6 } =

= = 6 = 6 =

= 6( t³/3 - t²/2 + t ) – 6 ln |t + 1| + C = 2 x^1/2 - 3 x^1/3 + 6 x^1/6 - 6 ln | 1 + x^1/6 | + C

Линейная иррациональность R(x, , , . . . ) dx( 14 )

Находим НОК(k₁, k₂, . . ) = n,подстановка ax + b = tⁿ,тогдаdx = (n/a)t^{n – 1}dt , x =(tⁿ – b)/aи функция становится рациональной.

Пр. J = = { НОК(1,2) = 2, пусть 3 – x = t² , тогда dx = - 2 tdt , x = 3 – t² }= = - 2 = -6 t³/3 + 2 t⁵/5 + C = -2 (3 – x)^1/2 + 2/5 (3 – x)^5/2 + C

;

Дробно-линейная иррациональность R(x, , , . . . ) dx ( 15 )

Находим НОК(k₁, k₂, . . ) = n,делаем подстановку = tⁿ,функция становится рациональной.

Пр. J = = { пусть = t² , тогда x = , dx = } =

= 2 ; Þ A = B = D = ¼, C = - ¼ ;

J = ¼ { ln| t –1 | - ln| t+1 | - (t – 1)^-1 – (t + 1)^-1 } + C

Интегралы типа R(x^m, ) x^{m -1} dx( 16 )

Наличие элемента x^{m – 1}dxпозволяет подвести функцию ax^m+ b под знак дифференциала x^m-1dx=(1/mа)d(ax^m + b),а замена ax^m+ b= tⁿ избавляет от иррациональности. Тогда x^m-1dx = n t^n-1dt/am и все x^m = (tⁿ - b)/a .

Пр. J = ₌ {пусть 2x²+1 = t³,тогдаxdx = ¾ t² dt , x² = ½(t³-1) } =

= ¾ ½ (t³-1)t² dt/t = 3/40 t⁵ – 3/16 t² + C

Квадратичные иррациональности.Тригонометрические подстановки. ( 17 )

А) R(x, ) dx ;Б) R(x, ) dx ;В) R(x, ) dx

т.е. под корень входит х² .

А) : замена x = a sin tÞ a² – x² = a² (1 – sin² t ) = a² cos²t , = a cos t

t = arcsin (x/a) , dx = a cos t dt

Б) : замена x = a tg tÞ a² + x² = a² ( 1 + tg² t) = a² / cos²t , = a / cos t

t = arctg (x/a) , dx = a dt / cos² t

В) : замена x = a / cos tÞ x² – a² = a² (1 / cos² t – 1 ) = a² tg²t , = a tg t

t = arcos (a/x) , dx = - a sin t dt / cos² t

Пр. J = = { пусть x = 2 sin t , тогда dx = 2 cos t dt, = 2 cos t }=

= - ctg t - t + C = - ctg (arcsin(x/2)) - arcsin(x/2) + C

Пр. J = = { пусть x = 2 tg t, тогда dx = 2 dt / cos² t, = 2/cos t }=

= 8 - 8 8/3 cos^-3 t + C = 8/3 cos^-3(arctg(x/2))+ C

Пр. J = = { пусть , тогда , = 2 tg t } =

= - = - ½ = - ¼ = - ¼ ( t - ) + C =

= - ¼ [ arcos (2/x) + ½ sin (2(arcos(2/x))) ] + C

Квадратичные иррациональности.Общий случай. ( 18 )

Интегралы типа R( x, ) dxНеобходимо:

1) Привести трехчлен к полному квадрату : ax² + bx + c = a[ x² + px + q ] =

= a[ x² + 2x(p/2) + (p/2)² - (p/2)² + q] = a [ (x + p/2)² + (q – p²/4) ] ,где p = b/a, q = c/a.2) Замена переменных: пусть x + p/2 = z ,тогда ax² + bx + c = |a|{±z² + (q – p²/4)}

и переходим к одному из трех случаев: А), Б), В)

Пр. J = = { x² + 2x –3 = (x +1)² – 4 = t²- 2², где t = x +1, тогда dx = dt }

= = { (В): пусть , тогда , } =

= -4 = -4 ; +

Þ A = B = D = ¼, C = - ¼ ; J = - { ln + 2 }+ C , где z = arccos .