Разложение дроби на простейшие.

А) Корни знаменателя алгебраической дроби - действительные числа.

Тогда он разлагается на произведение только двучленов R_m(x) = (x - a₁)(x - a₂)²(x - a₃)³ . .и дробь можно представить как сумму m простейших дробей.

Однократному корню соответствует одна дробь . Двукратному - две дроби :

+ . Трехкратному - три дроби : + +

= + + + + + + . . .

Действительно, сложение простейших дробей приведет к общему знаменателю R_m(x), а в числителе образуется некоторый полином T_n(x). При определенных значениях коэффициентов А, B_i, C_i T_n(x) = P_n(x) .Такое разложение дроби на сумму простейших дробей наз. методом неопределенных коэффициентов.

Вычисление коэффициентов.

1 способ. Приравняем коэффициенты в T_n(x)и P_n(x)при одинаковых степенях х , получим полную систему n линейных уравнений, решение системы дает А, B_i, C_i

Пр.2.

x¹ | A + B = 2 Þ A = -5

x⁰ | -2A – B = 3 Þ B = 7

2 способ. В уравнении T_n(x) = P_n(x)последовательно заменяем х на a_i и сразу получаем значения коэффициентов.

В Пр.2.

пусть х = 1 , тогда 5 = - A Þ A = -5

пусть х = 2 , тогда 7 = B Þ B = 7

Б) Корни знаменателя алгебраической дроби - сопряженные комплексные числа.

Тогда он разлагается на произведение трехчленов x²+px+q ,где D < 0 ,и дробь можно представить как сумму простейших дробей. Однократному трехчлену соответствует одна дробь . Двукратному - две дроби : + .

Пр.3.

x² | A + M = 0 ; x¹ | N – M = 2 ; x⁰ | 4A - N = 1 Þ A = 3/5 ; M = -3/5 ; N = 7/5 .