Интегрирование по частям.

Пусть u = u(x) , v = v(x) -непрерывные функции, тогда d(uv) = udv + vdu .

Проинтегрируем это равенство и получим формулу интегрирования по частям.

u dv = uv + v du( 7 )

Она позволяет вычисление интеграла u dvзаменить на вычисление интеграла v du .

Применение:

пусть f(x) = P(x)A(x) , где P(x) = a xⁿ + b x^n-1 + . . .+ c , A(x) -функция другого типа.

Если A(x) = e^kx, a^x, sin kx, cos kx,то u = P(x) , dv = A(x) dx

Если A(x) = log_a x , arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x,то u = A(x) , dv = P(x) dx

Пр. x cos x dx = {u = x, du = dx, dv = cos x dx, v = sin x} = x sin x - sin x dx =

= x sin x + cos x + C.Проверка: ( x sin x + cos x + C )` = x cos x

ln x dx , x ln(x – 1) dx , x e^2x dx , x²cos x dx , e^x sin x dx , arcsin x dx

Рациональные алгебраические дроби.

Основная теорема алгебры :

P_n(x) = xⁿ + a_n–1xⁿ⁺¹ + a_n-2xⁿ⁺² + . . . + a₀ = (x - a₁) (x - a₂) . . . (x - a_n)

{Пр. ax² + bx + c = a(x –x₁)(x – x₂) }

Полином n– ой степени всегда можно представить как произведение n двучленов

(x - a_i),где a_i -корни полинома. Корни могут быть действительными числами, комплексными числами, кратными. Комплексные корни входят сопряженными парами

a = a + ib , a* = a - ibи произведение

(x - a)(x - a*) = (x – a – ib)(x – a + ib) = (x – a)² + b² = x² + px + q ,

где D < 0 ,включает только действительные числа. В общем случае

P_n(x) = (x - a₁)^k₁(x - a₂)^k₂ . . . (x² + p₁x + q₁)^r₁ . . . ,где k₁+k₂+. . .+2(r₁+r₂ . . . ) = n .

Рациональная алгебраическая дробь наз. правильной, если n < m.Если n > m, то из дроби выделяют целую часть и остаток в виде правильной дроби

= , где k < m

Выделение целой части: 1) - метод добавления числа

2) деление полиномов уголком = (x + 6) +

Простейшие дроби: , , , , где D < 0

Интегрирование простейших дробей:

1) J₁ = ò dx = A ò = A ln (x – a ) + C

2) J₂ = ò dx = B ò = B ò =B + C

3) J₃ = ò dx , D < 0 . Алгоритм решения:

1. трехчлен приводят к полному квадрату x²+px+q = (x+p/2)² + (q–p²/4);

2. замена переменных t = x + p/2; 3. переход к сумме двух интегралов вида

J_a = = = , J_b = =

4) J₄ = ò dx . Повторим алгоритм решения и придем к интегралам

J `<sub>a</sub> = = , J `_b = . Если применить к интегралу J_b интегрирование по частям, то получим =

Пр. J = ; D = -36 < 0 ,

Решение: 1) x² + 2x + 10 = x² + 2x + 1 + 9 = (x + 1)² + 3² ;

2) пусть t = x + 1 , тогда x = t – 1, dx = dt , x² + 2x + 10 = t² + 3² ,

3) J = = + 2 = 3/2 ln|t² + 3²| + 2/3 arctg t/3 + C

= 3/2 ln| x² + 2x + 10| + 2/3 arctg (x – 1)/3 + C

Пр. J = = =

= = + 2 = 3/2 ln|t² + 3²| + 2/3 arctg t/3 + C