Метод замены переменных.

Дата добавления: 2015-08-31; просмотров: 682; Нарушение авторских прав

Всякую подынтегральную функцию f(x)можно представить как сложную, если ввести новую переменную интегрирования t ,а такжепрямую и обратную зависимости x = g(t),t = g^-1(x) h(x), тогда

f(x)dx = f[g(t)]g`(t)dt =F(t) + C = F(h(x)) + C.

Вспомогательный интеграл по новой переменной tможет оказаться более простым для вычисления. После его вычисления делаем обратную замену t = h(x)и получаем решение для исходного интеграла.

Пр. e^sin^x cos x dx = {пустьt = sin x, тогдаdt = (sin x)`x = cos x dx} =

= e^tdt = e^t + C = e^{sin x} + C.Проверка: (e^sin^x + C)` = e^sin^x cos x

Замена переменных происходит по правилу: из равенства двух величин (t = sin x) следует равенство их дифференциалов (dt = d(sin x)), т.е. приращений; дифференциал функции равен её производной умноженной на дифференциал аргумента

( d(sin x) = (sin x)`dx = cos x dx ).

Основной метод вычисления интегралов – поиск подходящей замены переменных и сведение их к табличным интегралам. Каждому типу функций соответствует свой вид замены переменных и их надо знать.

Линейная замена :t = ax + b.Пр. e^3x dx , , sin (a – b x) dx

Общее правило: если f(x) dx = F(x) + C ,то f(ax + b) dx = (1/a) F(ax + b) + C,( 4 )

Метод подведения под знак дифференциала( 5 )

В некоторых случаях в подынтегральном выражении простой множитель перед dx можно рассматривать как производную от некоторой функции u(x),но u`(x)dx = du(x)и тогда переменной интегрирования оказывается функция u(x).Если и остальную часть подынтегрального выражения представить как функцию от u(x), то переходим к новой переменной интегрирования.

Пр. , , ,

Случай f(x) = u`(x)/u(x). dx = ln u(x) + C ( 6 )

Если числитель подынтегральной функции равен или пропорционален производной от знаменателя, то интеграл равен логарифму знаменателя.

Пр. x dx /(x² + 1) = ½ d(x²+ 1) / (x² + 1) = ½ ln |x² + 1| + C

tg x dx , ctg x dx , ,

<== предыдущая лекция	\|	следующая лекция ==>
Непосредственное интегрирование.	\|	Интегрирование по частям.