Основные свойства неопределенного интеграла.

1⁰. ( f(x) dx)’ = f(x) ,т.к. (F(x) + C)’ = F’(x) = f(x)

Производная от интеграла равна подынтегральной функции.

2⁰. d ( f(x) dx) = ( f(x) dx)’dx = f(x) dx

Дифференциал от интеграла равен подынтегральному выражению

3⁰. d F(x) = F’(x) dx = f(x) dx = F(x) + C

Интеграл от дифференциала функции дает функцию плюс константа.

4⁰. a f(x) dx = a f(x) dx ,т.к. d (a F(x)) = a dF(x)

Постоянный множитель выносится за знак интеграла.

5⁰. [f(x) + g(x)] dx = f(x) dx + g(x) dx ,т.к. производные совпадают.

Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов.

6⁰. Инвариантность формы неопределенного интеграла : Переменную интегрирования хможно заменить в интеграле на произвольную дифференцируемую функциюu=u(x),т.е.

если f(x) dx = F(x) + C (а) ,то f(u(x)) du(x) = F(u(x)) + C (б) .

Док-во. Заменим хна u(x)в первообразной F(x). Получаем сложную функцию F(u(x)).Её дифференциал обладает свойством инвариантности формы :

d [F(u(x))] = F`<sub>x</sub> dx = F`_udu ,т.е. приращение функции dFполучаем в результате изменения либо dx, либо du .Проинтегрируем это равенство dF(u) = F`_uduи оно превращается в интеграл (б) : f(u) du = F(u) + C . Следствие. интегрирование сложной функции по переменной хможно заменить на интегрирование по сложному аргументу u(x).В этом случае в интегрировании участвует только внешняя функция и процедура интегрирования упрощается.

Пр. e^{sin x} cos x dx = e^{sin x} d(sin x) = e^u du = e^u + C = e^{sin x} + C , ( u = sin x)