Интегрирование дробно-рациональных функций

Одним из классов функций, которые имеют интеграл, выраженный через элементарные функции, является класс алгебраических рациональных функций, то есть функций, получающихся в результате конечного числа алгебраических операций над аргументом.

Всякая рациональная функция может быть представлена в виде отношения двух многочленов и :

. (23)

Будем предполагать, что многочлены не имеют общих корней.

Дробь вида (23) называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, то есть, m<n. В противном случае – неправильной.

Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель (по правилу деления многочленов), представим дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби:

, (24)

где - многочлен, - правильная дробь, причем степень многочлена - не выше степени (n-1).

Пример.

Так как интегрирование многочлена сводится к сумме табличных интегралов от степенной функции, то основная трудность при интегрировании рациональных дробей заключается в интегрировании правильных рациональных дробей.

В алгебре доказано, что всякая правильная дробь разлагается на сумму рассмотренных выше простейших дробей, вид которых определяется корнями знаменателя .

Рассмотрим три частных случая. Здесь и далее будем считать, что коэффициент при старшей степени знаменателя равен единице =1, то есть многочлен приведенный.

Случай 1.Корни знаменателя, то есть, корни уравнения =0, действительны и различны. Тогда знаменатель представим в виде произведения линейных множителей:

, (25)

а правильная дробь разлагается на простейшие дроби I-го типа:

, (26)

где – некоторые постоянные числа, которые находятся методом неопределенных коэффициентов.

Для этого необходимо:

1. Привести правую часть разложения (26) к общему знаменателю.

2. Приравнять коэффициенты при одинаковых степенях тождественных многочленов, стоящих в числителе левой и правой частей. Получим систему линейных уравнений для определения .

3. Решить полученную систему и найти неопределенные коэффициенты .

Тогда интеграл дробно-рациональной функции (26) будет равен сумме интегралов от простейших дробей I-го типа, вычисляемых по формуле (20).

Пример.Вычислить интеграл .

Решение.Разложим знаменатель на множители, используя теорему Виета:

Тогда, подынтегральная функция разлагается на сумму простейших дробей:

Приведем правую часть к общему знаменателю и приравняем многочлены, стоящие в числителях левой и правой части:

. (27)

В правой части приведем подобные при одинаковых степенях х:

Запишем систему трех уравнений для нахождения . Для этого приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях:

Укажем более простой способ нахождения неопределенных коэффициентов, называемый методом частных значений.

Полагая в равенстве (27) получим , откуда . Полагая получим . Наконец, полагая получим .

Тогда

Случай 2.Корня знаменателя действительны,но среди них есть кратные (равные) корни. Тогда знаменатель представим в виде произведения линейных множителей, входящих в произведение в той степени, какова кратность соответствующего корня:

, (28)

где .

Правильная дробь будет разлагаться сумму дробей I –го и II-го типов. Пусть, например, - корень знаменателя кратности k, а все остальные (n-k) корней различны.

Тогда разложение будет иметь вид:

. (29)

Аналогично, если существуют другие кратные корни. Для некратных корней в разложение (28) входят простейшие дроби первого типа.

Пример.Вычислить интеграл .

Решение.Представим дробь в виде суммы простейших дробей первого и второго рода с неопределенными коэффициентами:

В правой части приведем подобные при одинаковых степенях х:

Запишем систему четырех уравнений для нахождения и . Для этого приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой части

Тогда

Случай 3.Среди корней знаменателя есть комплексные однократные корни. То есть, в разложение знаменателя входят множители второй степени , не разложимые на действительные линейные множители, причем они не повторяются.

Тогда в разложении дроби каждому такому множителю будет соответствовать простейшая дробь III типа. Линейным множителям соответствуют простейшие дроби I –го и II-го типов.

Пример.Вычислить интеграл .

Решение. .