$х А(х) – т.е. существует число х, такое что х – простое число.
"х "у G(х,у) - для любого х и для любого у выполняется условие G(х,у)
Определение:Формула
1. Любая переменная – это формула.
2. Если А и В – формулы, то ØА, (АÚВ), (А&В), (А®В),"х А, $х А - формулы
Пример:
(АÚØ(В&А) – не формула (не хватает одной закрывающей скобки).
(АÚØ(В&А)) – формула
Определение:. Вхождения переменных, которые в процессе построения формулы не связываются кванторами, называются свободными, иначе, говорят что вхождения переменной х – связанные.
Обратите внимание, что одна и та же переменная может быть и свободной и связанной в одной и той же формуле.
Пример: "х $у (ØР(х,у)) ® Q(у,z)
В данном примере переменная у имеет как свободное, так и связанное вхождение в формулу.
Определение: Формула называется замкнутой, если никакая предметная переменная не является в ней свободной.
Приведем примеры более сложных предикатов:
Пример1: «Всякий человек смертен» - "х (Человек(х) ® Смертен(х))
Пример3: «Квадрат любого четного числа больше 1» - "х (Четное число(х) ® >(Квадрат(х),1))
Тема 4.2 Правила вывода
Определение: Правила, по которым в логике из истинных формул образуются новые истинные формулы называются правилами вывода.
Определение: Выводом называется непустая конечная последовательность формул С1…Сn, таких что:
· каждая Сi – есть либо посылка, либо получена из предыдущих формул по одному из правил вывода.
· Если в выводе применялись правила 5 или 7, то все формулы, начиная с последней посылки и вплоть до результата применения данного правила, исключаются из дальнейших шагов построения вывода.
Выпишем правила формального вывода:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
Каждое правило вывода представляет собой формулировку разрешения нечто осуществить, а именно, если даны формулы того вида, который указан выражениями, стоящими над чертой (посылки правил), то каждое правило позволяет записать после этого формулу того вида, который указан выражением, стоящим под чертой (заключение правила).
Правило 5 называется правилом введения импликации. Она позволяет по любой формуле В перейти к импликации, но обязательно в качестве посылки используется последнее допущение (или последняя посылка).
При обнаружении двух противоречащих друг другу формул (правило 7) позволяет говорить о выводимости отрицания последнего допущения (и только его).
Пример: Показать выводимость формулы r из посылок p®q, q®r, p
1.
2.
Определение: Доказательство есть вывод из пустого множества посылок. Последняя формула в доказательстве называется доказанной формулой или теоремой.
Мы обязательно должны сказать, что приведенный набор правил вывода применим к исчислению высказываний. Набор правил вывода исчисления предикатов несколько шире. Каждое правило вывода не нуждается в доказательстве (является очевидным). Но с помощью них можно получать все новые, далеко не всегда очевидные результаты. Необходимо хорошо понимать тот факт, что в описанных правилах вывода используются формулы, т.е. в качестве А, В, С и т.д. могут использоваться и достаточно сложные высказывания.
В следующей главе мы покажем более сложные правила рассуждений, применимые в логике человеческих рассуждений. Все они получены путем вывода из указанных правил вывода.
Тема 4.3 Умозаключения.
Определение: Умозаключение – это форма мышления или логическое действие, в результате которого из одного или нескольких известных и определенным образом связанных суждений получается новое суждение, в котором содержится новое знание.
Логики и философы, тысячелетия рассуждая о природе и законах человеческого мышления, нашли правила получения новых знаний из набора разрозненных, но истинных фактов. Эти правила принято называть умозаключениями. Их достаточно много. Мы приведем самые распространенные из них и рассмотрим примеры их использования. Однако следует хорошо понимать, что все эти типы рассуждений можно получить из базового набора правил вывода математической логики.
условно-категоричные умозаключения
К числу правильных, условно-категоричных умозаключений относятся умозаключения следующего типа:
Данные способ рассуждения в средневековой логике получил название modus ponens, т е. «утверждающий способ рассуждения».
Пример: Если отмечается спад производства, то растет число безработных. В России отмечается спад производства. Следовательно, число безработных растет.
Другой тип правильных условно-категорических умозаключений является modus tollens, т е. «Отрицательный способ рассуждения».
Пример: Если благородная цель оправдывает любые средства, то можно лишить человека жизни, если он смертельно болен и Вы хотите укоротить его страдания. Но даже в этом случае нельзя лишать человека жизни. Значит неверно, что благородная цель оправдывает любые средства.
Покажем вывод этого умозаключения из правил вывода исчисления высказываний. Одновременно продемонстрируем и способы применения этих правил.
Отметим, что неверными являются следующие способы рассуждения:
2. 
4. 
6. 
8. 
