Метод интегрирования по частям

Данный метод следует из интегрирования формулы для дифференциала произведения двух функций.

Пусть u и v – две дифференцируемые по х функции. Тогда дифференциал произведения этих функций равен:

или .

Проинтегрируем последнее выражение:

. (19)

Формула (19) называется формулой интегрирования по частям. Поскольку произвольная постоянная входит в интеграл, стоящий в правой части, то в формуле (19) она не записывается, а добавляется к конечному выражению после интегрирования.

Из структуры формулы (19) видно, что множитель u, стоящий в левом интеграле, заменяется на du, то есть дифференцируется, а множитель dv – заменяется на v, то есть интегрируется. Поэтому, можно ожидать, что упрощение интеграла в левой части произойдет либо от дифференцирования u, либо от интегрирования dv. На практике, упрощение зачастую происходит путем дифференцирования.

Таким образом, если в подынтегральном выражении имеется множитель, упрощающийся при дифференцировании, то его принимают за u, а все остальные множители, включая дифференциал dх – за dv. Отметим, что иногда для получения окончательного результата требуется применять формулу (19) несколько раз.

Следующие виды интегралов удобно вычислять по частям:

1. , 4. ,

2. , 5. ,

3. , 6. .

В интегралах 1-3 качестве u принимают . Тогда, после n-кратного применения формулы (19) придем к одному из табличных интегралов

, , .

В интегралах 4-6 при дифференцировании упроститься трансцендентный множитель , или , который следует принять за u.

Вычислить следующие интегралы.

Пример 7.

Пример 8.