Метод замены переменной (метод подстановки)

Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной или метод подстановки. Удачная замена переменной позволяет в ряде случаев упростить подынтегральное выражение, а в простейших случаях – свести интеграл к табличному.

Пусть требуется найти интеграл

,

причем непосредственно подобрать первообразную для функции не удается.

Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив

, (13)

где и ее производная - непрерывные функции и существует обратная функция.

Тогда

, (14)

а

= . (15)

В выражении (15) после интегрирования необходимо подставить в правую часть вместо переменной t первоначальную переменную х, выразив ее из соотношения (13).

Для того, чтобы доказать справедливость соотношения (15) нужно показать, что производные от его правой и левой частей равны.

Продифференцируем левую часть:

.

Правую часть продифференцируем по х как сложную функцию, где - промежуточная функция от х, а ее производная вычисляется как производная обратной функции: .

Тогда,

.

Поскольку производные равны, то формула (15) справедлива.

Функцию необходимо подбирать так, чтобы интеграл, стоящий в правой части формулы (15) можно было вычислить.

Замечание.Иногда при интегрировании бывает целесообразнее делать подстановку вида

, (16)

где

. (17)

Поменяв местами в формуле (15) буквы х и t, получим:

= где . (18)

Пример.Рассмотрим пример 3 и применим общий метод замены переменной.

.

Пример 4.

.

Пример 5. .

Пример 6. .

Отметим, что можно было явно не выписывать подстановку, а воспользоваться свойством 6 инвариантности формул интегрирования.