Свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

. (4)

Действительно, дифференцируя выражение (3), с учетом (1) получим:

.

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

. (5)

По определению дифференциала и свойству 1, имеем:

.

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

. (6)

Рассматривая функцию как первообразную для некоторой функции , можно записать .Найдем дифференциал обеих частей равенства. На основании свойства 2, дифференциал левой части будет равен подынтегральному выражению. Тогда . Отсюда .

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

. (7)

Равенство (7) означает, что правая и левая его части являются семействами первообразных от одной и той же функции. Тогда, в силу (1), для доказательства этого равенства необходимо показать, что производные от обеих частей равны.

Продифференцируем левую и правую части равенства:

. .

Производные от обеих частей равны, значит равенство верно.

5. Интеграл от алгебраической суммы двух и более функции равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

. (8)

Доказывается аналогично предыдущему.

Свойство инвариантности формулы интегрирования.

Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой от нее функции , то есть, если

,(9)

то

, (10)

где - любая дифференцируемая функция от х.

Это свойство дает возможность применять приведенную ниже таблицу интегралов не только при интегрировании по независимой переменной х, но и по любой другой дифференцируемой по независимой переменной х функции , что расширяет применение таблицы основных интегралов.

В рассмотренном выше примере, когда , а первообразная , то есть , вместо независимой переменной х может стоять любая дифференцируемая функция от х, например, . Тогда неопределенный интеграл будет иметь вид:

.

Заметим, что интеграл равен рассмотренному интегралу .