Первообразная функция и неопределенный интеграл

Определение 1. Функция называется первообразной функцией или первообразной для функции на некотором промежутке Х, если в каждой точке этого промежутка функция дифференцируема и удовлетворяет уравнению:

(1)

или, что то же самое, соотношению

. (2)

Примеры. Функция является первообразной для функции , поскольку . Аналогично, функция является первообразной для функции в интервале , поскольку . Функция является первообразной для функции на всей числовой прямой, поскольку .

Иногда приходится указывать промежуток, где задана функция, которую надо интегрировать. Например, при рассмотрении функции в интервале , то первообразной будет функция . Однако, в интервале , на котором функция не определена, первообразной будет , поскольку .

Легко заметить, что для заданной функции ее первообразная определяется неоднозначно. Для рассмотренной выше функции первообразной будет не только , но и любая другая функция , отличающаяся первообразной на произвольную постоянную С, поскольку производная от константы С равна нулю: .

Следующая теорема дает ответ на вопрос о нахождении всего семейства первообразных функций.

Теорема. Если и - две первообразные для функции на некотором промежутке Х, то их разность на этом промежутке постоянна: .

Отсюда следует, что если для данной функции найдена какая-нибудь первообразная , то любая другая первообразная будет задана соотношением , где - произвольная постоянная.

Геометрически семейство первообразных функций представляет собой кривые, сдвинутые друг относительно друга по оси ординат на величину .

Определение 2. Неопределенным интегралом от функции на промежутке Х называется совокупность всех первообразных для функции и обозначается:

, (3)

где , . Переменная х, стоящая в формуле (3) под знаком дифференциала, показывает, по какой переменной происходит интегрирование.

Функция называется подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, - произвольная постоянная, .- знак интеграла.

Например, если - первообразная для функции , то неопределенный интеграл от этой функции равен .

Следующая теорема дает ответ на вопрос об условиях, которым должна удовлетворять функция для существования первообразной, а значит, и неопределенного интеграла.

Теорема. Если функция непрерывна на некотором отрезке, то она имеет на этом отрезке первообразную (а значит, и неопределенный интеграл).

Операция нахождения первообразной для функции называется интегрированием функции .