Вычисление длины гладкой кривой

Лк (2ч)

1. Понятие спрямляемой кривой и её длины

Пусть кривая L задана параметрически L: , a£t£b, где j(t), y(t) непрерывны на [a;b]. Возьмём произвольное разбиение Т отрезка [a;b] на отрезки , , так, что .

Точкам разбиения отрезка [a;b] соответствуют точки кривой, т.е. точки с координатами .Полученные точки соединим отрезками и получим ломаную с вершинами в точках . Эту ломаную будем называть вписанной в кривую L, соответствующую данному разбиению Т. Длина звена ломаной равна , поэтому длина ломаной

(1)

Заметим, что однозначно определяется разбиением Т. Обозначим через , .

Определение 1. Кривая L называется спрямляемой, если существует предел суммы (1) при .

При этом число называется длиной кривой L.

2. Вычисление длины гладкой кривой

Лемма 1. справедливо неравенство:

.

Доказательство.

1) Если , и неравенство очевидно.

2) если , то по крайней мере одно из чисел B или C не равно 0. Тогда

=

.

Лемма 2 (свойство аддитивности). Если спрямляемая кривая L точкой M₀ разбита на две кривые L₁ и L₂, то эти кривые спрямляемые, и Определение 2. Кривая L называется гладкой, если её уравнение можно записать в параметрическом виде , tÎ[a;b], где j(t) и y(t) имеют непрерывные производные j¢(t) и y¢(t), одновременно не обращающиеся в нуль (т.е. ).

Определение 3.Кривая L называется кусочно-гладкой, если её можно разбить на конечное число гладких кривых.

Теорема 1. Всякая гладкая кривая L: , tÎ[a;b], спрямляема и её длина вычисляется по формуле

. (2)

Доказательство.

Возьмём произвольное разбиение Т отрезка [a;b] на отрезки и построим ломаную , вписанную в кривую L и соответствующую данному разбиению Т. Её длина вычисляется по формуле (1). Функции j и y на отрезке ( ) удовлетворяют условиям теоремы Лагранжа. Следовательно,

.

Тогда из (1) следует . (3)

Если в равенстве (3) заменить на , то получим интегральную сумму для функции на [a;b]. Так как j¢(t) и y¢(t) на [a;b] непрерывны, то функция непрерывна на [a;b]. Но тогда

Рассмотрим разность и покажем, что . Отсюда будет следовать, что существует и равен , то есть получим равенство (2).

Оценим модуль разности:

Применяя лемму, получим:

. (4)

Функция y¢(t) непрерывна на [a;b], следовательно, она равномерно непрерывна на этом отрезке, значит, выполнено

. (5).

Пусть разбиение Т удовлетворяет условию . Тогда . Отсюда на основании неравенства (5) имеем:

.

Тогда из (4) следует .

Формулу (1) можно записать в виде .

Замечание 1. Пусть гладкая кривая задана уравнением . Перейдём к параметрическим уравнениям. Полагаем:

a£t£b, Þ .

Тогда

.

Замечание 2. Пусть гладкая кривая в полярной системе координат задана уравнением . Перейдём к параметрическому заданию:

;

, .