Площадь поверхности

Пусть гладкая кривая АВ задана параметрическими уравнениями

tÎ[a;b]. (1)

Заменим (1) параметрическими уравнениями

lÎ[0;L],

где функции и F определены и непрерывны на [0;L]. Вращая кривую АВ вокруг оси ОХ, получим поверхность вращения. Возьмём произвольное разбиение Т отрезка [0;L]: : на частичные отрезки . Точкам соответствуют точки на кривой АВ. Впишем в кривую АВ ломаную с вершинами в точках , . Вместе с кривой АВ будем вращать ломаную. Очевидно, ломаная опишет поверхность, состоящую из объединения поверхностей n усечённых конусов (в частном случае может получиться цилиндр или конус). Ее площадь равна

,

где - образующая, , а . Пусть , . Число является средним арифметическим двух чисел , значит, оно заключено между ними. Но так как y_k-1 и y_k являются значениями функции , то и среднее арифметическое также будет значением этой функции (в силу ее непрерывности). Значит, такая, что , но тогда

.

Определение 1. Площадью P поверхности вращения гладкой кривой АВ вокруг оси ОХ называется предел площади поверхности вращения ломаной P(T) при , то есть (если он существует).

Запишем P(T) в виде

. (2)

есть интегральная сумма для функции на [0;L]. Так как функция непрерывна, то существует

, (3)

где dl- дифференциал дуги. Покажем, что

. (4)

Функция она ограничена на [0;L], то есть $М: "lÎ[0;L]. Тогда

= .

Итак,

. (5)

Так как кривая АВ спрямляема, то . Следовательно, Переходя в (5) к , получим (4). Переходя в равенстве (2) к , с учетом (3) и (4), получим

. (6)

Перейдём к основным параметрическим уравнениям кривой АВ, для этого проведём замену переменной по формуле :

, , tÎ[a;b].

Тогда из (6) следует

.

Если гладкая кривая задана уравнением то

или .

Если гладкая кривая задана в полярной системе координат уравнением r=r(j), a£j£b, то

.