Пусть - координатная плоскость, то есть плоскость с фиксированной прямоугольной системой координат, а- множество пар действительных чисел: . Между и можно установить взаимно – однозначное соответствие:
.
В силу этого точки , , а также и будем отождествлять, то есть .
Определение 1.Открытым кругом с центром в точке и радиусом r называется множество точек
.
Для числовой прямой открытый круг – интервал.
Определение 2. - окрестностью точки называется открытый круг радиуса e с центром в точке .
Обозначается .
Пусть E - некоторое множество, ( или ).
Определение 3. Точка называется внутренней точкой множества E , если некоторая e - окрестность этой точки принадлежит Е (т. е. $ ÌЕ).
Определение 4. Точка называется внешней точкой множества E, если некоторая e - окрестность точки не принадлежит Е (т. е. $ ËЕ).
Определение 5. Точка называется граничной точкой множества E, если любая e-окрестность точки содержит точки, принадлежащие множеству E,и точки, не принадлежащие Е (т.е. " выполнено и , где ).
Другими словами, граничная точка множества – это точка, которая не является ни внутренней, ни внешней точкой этого множества. Граничная точка множества E может, как принадлежать, так и не принадлежать E.
Определение 6. Совокупность всех граничных точек множества E называется границей множества E и обозначается .
Пример.Рассмотрим - прямоугольник.
, $ ÌЕ Þ А – внутренняя точка множества Е;
, $ ËЕ Þ В – внешняя точка множества Е;
, - граничные точки множества Е.
Определение 7. Множество E называется открытым, если его граница ему не принадлежит.
Определение 7¢(эквивалентно определению 7). Множество E называется открытым, если все его точки – внутренние.
Определение 8. Множество E называется замкнутым, если его граница ему принадлежит.
Определение 9. Множество E называется ограниченным, если его можно заключить в круг радиуса .
Определение 10.Плоской фигурой F называется ограниченное множество точек из .
Границу фигуры F обозначают .
2. Понятие квадрируемой фигуры и её площади
Определение 11.Многоугольной фигурой на плоскости называется объединение конечного числа лежащих на этой плоскости ограниченных многоугольников.
(Состоит из двух частей)
Понятие площади такой фигуры даётся в средней школе. Площадь многоугольной фигуры P будем обозначать . Она обладает следующими свойствами:
1. .
2. Если P и P не имеют общих внутренних точек, то .
3. (инвариантность) Если , то
4. (монотонность) Если , то .
Пусть - произвольная плоская фигура, граница которой состоит из одной или нескольких простых замкнутых кривых. Рассмотрим всевозможные многоугольные фигуры Р, целиком содержащиеся в F, и многоугольные фигуры Q, целиком содержащие F. Многоугольные фигуры P называются вписанными, а Q - описанными.
(из 4 свойства).
Рассмотрим множества и .
Покажем, что ограничено сверху, а – снизу.
Фиксируем . Тогда , значит, множество ограничено сверху. , следовательно, множество ограниченно снизу. Значит, имеет верхнюю грань, а – нижнюю. Обозначим
, .
Величина называется нижней площадью, - верхней площадью фигуры F.
(1).
Определение 12. Плоская фигура называется квадрируемой (или имеющей площадь), если её верхняя площадь совпадает с нижней площадью. При этом число называется площадью фигуры .
3. Условия квадрируемости фигур
Теорема 1. Чтобы плоская фигура F была квадрируема необходимо и достаточно, чтобы нашлись плоские многоугольные фигуры P, Q: , для которых выполнено . (2)
Доказательство.
1) Необходимость.
Пусть F – квадрируема . (3)
На основании свойств верхней и нижней грани :
(4)
(5)
Из (4) и (5), учитывая (3), получим
.
В силу (3) отсюда следует (2).
2) Достаточность.
Пусть , для которых .
Из (1) и (2) следует . Так как - произвольное положительное число, то . Следовательно, по определению 12, F- квадрируема.
Теорема 2.(обобщение теоремы 1) Для того, чтобы плоская фигура F была квадрируема необходимо и достаточно, чтобы нашлись две квадрируемые фигуры , такие, что .
Определение 13. Множество точек плоскости К имеет площадь нуль, если это множество можно заключить в многоугольную фигуру со сколь угодно малой площадью.
многоугольная фигура F: , такая, что .
Теорема 3. Для квадрируемости фигуры F необходимо и достаточно, чтобы её граница имела площадь 0.
Доказательство.
1) Необходимость.
Пусть F – квадрируема. Докажем, что . Зафиксируем . Т. к. F квадрируема, то , для которых (по теореме 1). Многоугольная фигура Q\P содержит границу фигуры F. Так как , то . Тогда по определению 13 .
2) Достаточность.
Пусть . Тогда по определению найдется многоугольная фигура С: , для которой . Не умаляя общности доказательства, можно считать, что многоугольная фигура С не содержит в себе целиком F. Тогда из точек фигуры F, не попавших в С, составится многоугольная фигура Р, содержащаяся в F. Если к Р присоединить С, то получится многоугольная фигура , которая содержит F. Так как , то по теореме 1 фигура F квадрируема.
P
P
4. Кривые с нулевой площадью
Теорема 4. Кривая Г, заданная уравнением ,или уравнением вида , где , имеет площадь 0.
Доказательство.
Проведём для кривой Г: . Фиксируем . Так как , то она равномерно непрерывна на . Следовательно, для числа (6)
выполнено . (7)
Разобьём на частичные отрезки . В силу непрерывности f на , а, значит, и на каждом частичном отрезке , она имеет на нем наименьшее и наибольшее значения. То есть : , . Т.к. , то . Значит, для точек и выполняется неравенство (6). Тогда согласно (7) . Заключим кривую Г в ступенчатый многоугольник, состоящий из n прямоугольников . Найдём его площадь.
.
По определению 13 .
Теорема 5. Плоская фигура F квадрируема, если её граница состоит их конечного числа частей, каждая из которых представляет собой кривую, определяемую уравнением вида y=f(x), a≤x≤b или x=φ(y), c≤y≤d, где fÎC[a;b], φÎC[c;d].
Доказательство.
Каждая из частей границы имеет по теореме 4 площадь 0. Но частей конечное число. Следовательно, . Тогда по теореме 3 фигура F квадрируема.
5. Свойства площади
Теорема 6 (аддитивность площади). Если фигура F разбита на две квадрируемые фигуры и без общих внутренних точек, то фигура F квадрируема и . (8)
Доказательство.
Так как и квадрируемы, то , . Но Þ . Следовательно, F квадрируема. Докажем равенство (8).
Зафиксируем . Так как и квадрируемы, то
1) , (9)
2) . (10)
Рассмотрим многоугольные фигуры и . Ясно, что . Т. к. , то . Но .
Так как , то выполняется условие:
. (11)
Т.к. ,
,
то, сложив эти неравенства, получим
. (12)
Из (9),(10) следует что
.
Тогда из (11), (12) получаем, что числа и находятся между одними и теми же, причем сколь угодно близкими, границами и . Следовательно, . Отсюда следует равенство (8).
Теорема 7(монотонность). Если - квадрируемые фигуры, то .
Теорема 8(инвариантность).Если , то .
Доказательство следует из инвариантности площади многоугольной фигуры и определения площади плоской фигуры через площадь многоугольной фигуры.
Лк (2ч)
6. Вычисление площади плоской фигуры
I. Вычисление площади плоской фигуры в декартовых координатах
1) Площадь криволинейной трапеции
Определение 1.Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком функции y=f(x), где fÎC[a;b], a<b, f(x)≥0, xÎ[a;b], прямыми x=a и x=b и отрезком [a;b] оси Ox.
Теорема 9. Криволинейная трапеция представляет собой квадрируемую фигуру F, площадь которой
. (13)
Доказательство.
1) Криволинейная трапеция F ограничена тремя отрезками и графиком непрерывной функции f. Тогда по теореме 5 F – квадрируема.
2) Найдём m(F).
Возьмём отрезка [a;b] на частичные отрезки , . Обозначим через и наименьшее и наибольшее значения функции на . Составим суммы и . Очевидно, и - площади описанного и вписанного около F многоугольников. Следовательно,
. (14)
По условию fÎC[a;b] .
Переходя к пределу в (14), получим (13).
Геометрический смысл определенного интеграла.
Определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), где fÎC[a;b], a<b, f(x)≥0, xÎ[a;b], прямыми x=a и x=b и отрезком [a;b] оси Ox.
2)Фигура F ограничена графиком функции y=f(x), где fÎC[a;b], a<b, f(x)≤0, xÎ[a;b], прямыми x=a и x=b и отрезком [a;b] оси Ox.
тоже будем называть криволинейной трапецией. Т. к. f(x)≤0, то -f(x)≥0, и, значит, к фигуре F1 можем применить формулу 1:
.
. (15)
3) и f(x) меняет знак в конечном числе точек [a;b].
Разобьем фигуру F на части, в каждой из которых f(x) не меняет знак, и применим ответствующую формулу (13) или (15).
,
.
4) Фигура ограничена снизу графиком функции y=f1(x), сверху - y=f2(x), , , и с боков прямыми x=a, x=b.
F=F2\F1, где F1 ограничена сверху графиком y=f1(x), а F2 – графиком y=f2(x). Так как , то
.
По свойству интеграла .
II. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной параметрическими уравнениями
то криволинейная трапеция квадрируема и справедлива формула:
. (16)
Доказательство.
Так как , то существует обратная функция , возрастающая и непрерывная на [a;b]. Следовательно, .Таким образом, кривая АВ является графиком функции y=f(x), где . Тогда по теореме 9 криволинейная трапеция квадрируема и её площадь
.
Выполним здесь подстановку: .
. Т. о., получаем (16).
Формула (16) справедлива и для случая .
Если (0£t£T) – параметрические уравнения простой замкнутой кривой, пробегаемой против хода часовой стрелки и ограничивающей слева от себя фигуру F, топлощадь фигуры можно вычислить по одной из формул:
, ,
. (17)
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой .
D Т. к. фигура F ограничена замкнутой линией, то удобно применить формулу (17).
. D
III. Площадь в полярных координатах
1) Пусть кривая L задана в полярной системе координат уравнением:
.
Определение. Криволинейным сектором называется плоская фигура, ограниченная кривой L и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы .
Теорема 11. Криволинейный сектор представляет собой квадрируемую фигуру F, площадь которой вычисляется по формуле:
.
Доказательство.
Выберем произвольное разбиение отрезка точками на n частей . Проведём лучи . Сектор разбит на n частей. Т.к. , то на каждом из частичных отрезков она имеет наибольшее и наименьшее значения. На построим два круговых сектора с радиусами и . Получим две ступенчатые квадрируемые фигуры. Одна из них P содержится в секторе, а другая Q его содержит. Площади этих ступенчатых фигур
, , .
и - нижние и верхние интегральные суммы для функции , то есть , .
Так как функция , то она интегрируема на , то есть выполнено . Пусть l<d. Тогда по теореме 2 фигура F квадрируема (так как нашлись две квадрируемые фигуры P и Q, , такие, что ).
Так как функция интегрируема на , то
.
Так как , то .
2) Пусть фигура ограничена кривыми , , на и лучами j=a, j=b. Тогда
.
§2. Кубируемые тела и их объёмы
Лк (2ч)
1. Понятие кубируемого тела и его объема
П – трёхмерное координатное пространство, .
Между П и установим взаимно-однозначное соответствие :
, , .
Определение 1. Открытым шаром в с центром в точке и радиусом r называется множество точек , расстояние от которых до точки меньше, чем r:
.
Определение 2. e-окрестностью точки называется открытый шар с центром в точке и радиусом e.
Пусть Е- подмножество , . Определения внешней, внутренней, граничной точек, границы множества остаются без изменений.
Определение 3. Множество Е называется ограниченным множеством или телом, если оно содержится в некотором открытом шаре.
Определение 4. Многогранным телом называется объединение конечного числа ограниченных многогранников.
Понятие объёма многогранного тела даётся в элементарной математике. Объём многогранного тела не отрицателен и обладает свойствами аддитивности, инвариантности, монотонности.
Пусть дано произвольное тело F. Рассмотрим всевозможные многогранные тела Р, целиком содержащиеся в F, и многогранные тела Q, содержащие F. Так как , то множество ограничено сверху, а - снизу.
Число называется нижним объёмом тела F.
Число - верхним объемом тела F.
.
Определение 5. Тело F называется кубируемым (или имеющим объём), если . При этом число называется объёмом тела F.
Теорема 1. Для того, чтобы тело F было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы нашлись два многогранных тела , такие, что .
Замечание. В теореме 1 многогранные тела P, Q можно заменить кубируемыми телами P, Q.
Определение 10. Множество точек пространства K называется множеством объёма нуль, если оно содержится в многогранном теле сколь угодно малого объёма.
Теорема 2. Для кубируемости тела F необходимо и достаточно, чтобы его граница имела объем нуль.
Объём тела F неотрицателен и обладает свойствами аддитивности, монотонности, инвариантности (сформулировать самостоятельно).
2. Объём прямого цилиндрического тела
Определение 11. Прямым цилиндрическим телом называется тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными некоторой оси и двумя плоскостями, перпендикулярными этой оси.
Эти плоскости в пересечении с цилиндрической поверхностью образуют плоские фигуры, называемые основаниями; расстояние между основаниями цилиндрической поверхности называется высотой.
Теорема 3. Если основанием цилиндрического тела F является плоская квадрируемая фигура G, то тело F кубируемо, причём его объем
, (1)
где - площадь основания G, а h – высота цилиндрического тела.
Доказательство.
Так как плоская фигура G квадрируема, то найдутся многоугольные фигуры . Построим два многогранных тела и с основаниями Р и Q и высотой h, их объёмы будут равны и . Для разности этих объёмов имеем :
.
Так как и , (2)
то по теореме 1 тело F кубируемо. Докажем (1).
, следовательно, , или
. (3)
С другой стороны, т.к. , то . (4)
Из (3) и (4) с учетом (2) получим (1).
Определение 12. Ступенчатым телом называется объединение конечного числа цилиндрических тел, расположенных так, что основание каждого предыдущего из этих тел находится в одной плоскости с нижним основанием последующего.
Замечание. Из свойства аддитивности объёма и теоремы 3 следует кубируемость ступенчатых тел.
Из предыдущих рассуждений вытекает следующее утверждение: если "e>0 можно указать 2 ступенчатых тела F1F2, таких, что , то тело F кубируемо.
3. Вычисление объёма тела вращения
Теорема 4. Пусть функция f непрерывна на [a;b], a<b.Тогда тело F образованное вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f, прямыми x=a, x=b и отрезком [a;b] оси ОХ, кубируемо и его объём вычисляется по формуле:
.
Доказательство.
Возьмём произвольное разбиение Т отрезка [a;b] на частичные отрезки .Функция fÎC[a;b], следовательно, имеет на частичном отрезке наименьшее значение и наибольшее значение . На построим два прямоугольника: один с высотой , а другой с высотой . Эти построения проведём для всех k. В результате получим две ступенчатые фигуры, одна из которых содержится в криволинейной трапеции, а другая содержит её. Вращая криволинейную трапецию и ступенчатые фигуры вокруг оси ОХ, получим тело F и два ступенчатых тела P и Q: . Их объемы равны:
, .
Очевидно, , а для функции на [a;b]. Так как функция непрерывна на [a;b], то она интегрируема на [a;b]. Выберем . Тогда по критерию интегрируемости для выбранного e найдется d>0, такое, что для любого разбиения Т, удовлетворяющего условию l<d выполнено .
Итак, нашлись 2 ступенчатых тела P и Q, такие что и . Из замечания к теореме 3 следует, что тело F кубируемо. Так как функция интегрируема на [a;b], то
.
С другой стороны, . Переходя здесь к , получим .
Теорема 4¢. Пусть функция x=g(y) непрерывна на [c;d], c<d. Тогда тело G, образованное вращением вокруг оси ОУ криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции х=g(y), горизонтальными отрезками y=c, y=d и отрезком [c;d] оси ОУ, кубируемо и его объём вычисляется по формуле
- координатная плоскость, то есть плоскость с фиксированной прямоугольной 
системой координат, а
- множество пар действительных чисел: 
. Между 
.
, 
, а также 
.
Определение 1. Открытым кругом с центром в точке 
и радиусом r называется множество точек
.
- окрестностью точки 
называется открытый круг радиуса e с центром в точке 
.
( или 
).
называется внутренней точкой множества E , если некоторая e - окрестность этой точки принадлежит Е (т. е. $ 
называется внешней точкой множества E, если некоторая e - окрестность точки 
и 
, где 
).
.
Пример.Рассмотрим 
- прямоугольник.
, $ 
ÌЕ Þ А – внутренняя точка множества Е;
, $ 
ËЕ Þ В – внешняя точка множества Е;
, 
- граничные точки множества Е.
.
.
.
Определение 11. Многоугольной фигурой на плоскости называется объединение конечного числа лежащих на этой плоскости ограниченных многоугольников.
. Она обладает следующими свойствами:
.
и P 
не имеют общих внутренних точек, то 
.
, то 
, то 
.
Пусть 
- произвольная плоская фигура, граница которой состоит из одной или нескольких простых замкнутых кривых. Рассмотрим всевозможные многоугольные фигуры Р, целиком содержащиеся в F, и многоугольные фигуры Q, целиком содержащие F. Многоугольные фигуры P называются вписанными, а Q - описанными.
(из 4 свойства).
и 
.
. Тогда 
, значит, множество 
, следовательно, множество 
, 
.
называется нижней площадью, 
- верхней площадью фигуры F.
(1).
называется площадью фигуры 
нашлись плоские многоугольные фигуры P, Q: 
, для которых выполнено 
. (2)
1) Необходимость.
. (3)
:
(4)
(5) 
.
, для которых 
. Так как 
- произвольное положительное число, то 
. Следовательно, по определению 12, F- квадрируема. 
нашлись две квадрируемые фигуры 
, такие, что 
многоугольная фигура F: 
, такая, что 
.
Пусть F – квадрируема. Докажем, что 
. Зафиксируем 
, для которых 
, то 
. Тогда по определению 13 
, для которой 
. Не умаляя общности доказательства, можно считать, что многоугольная фигура С не содержит в себе целиком F. Тогда из точек фигуры F, не попавших в С, составится многоугольная фигура Р, содержащаяся в F. Если к Р присоединить С, то получится многоугольная фигура 
, которая содержит F. Так как 
, то по теореме 1 фигура F квадрируема. 
,или уравнением вида 
, где 
, имеет площадь 0.
. Фиксируем 
, то она равномерно непрерывна на 
. Следовательно, для числа 
(6)
. (7)
Разобьём 
. В силу непрерывности f на 
, она имеет на нем наименьшее и наибольшее значения. То есть 
: 
, 
. Т.к. 
, то 
. Значит, для точек 
и 
выполняется неравенство (6). Тогда согласно (7) 
. Заключим кривую Г в ступенчатый многоугольник, состоящий из n прямоугольников 
. Найдём его площадь.
.
. 
Теорема 6 (аддитивность площади). Если фигура F разбита на две квадрируемые фигуры 
и 
без общих внутренних точек, то фигура F квадрируема и 
. (8)
, 
. Но 
Þ 
. Следовательно, F квадрируема. Докажем равенство (8).
, (9)
. (10)
и 
. Ясно, что 
, то 
. Но 
.
. (11)
,
,
. (12)
.
и 
находятся между одними и теми же, причем сколь угодно близкими, границами 
и 
. Следовательно, 
. Отсюда следует равенство (8). 
- квадрируемые фигуры, то 
.
, то 
.
. (13)
2) Найдём m(F).
отрезка [a;b] на частичные отрезки 
, 
. Обозначим через 
и 
наименьшее и наибольшее значения функции на 
и 
. Очевидно, 
и 
- площади описанного и вписанного около F многоугольников. Следовательно,
. (14)
.
Определенный интеграл 
равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), где fÎC[a;b], a<b, f(x)≥0, xÎ[a;b], прямыми x=a и x=b и отрезком [a;b] оси Ox.
.
. (15)
и f(x) меняет знак в конечном числе точек [a;b].
,
.
4) Фигура ограничена снизу графиком функции y=f1(x), сверху - y=f2(x), 
, 
, и с боков прямыми x=a, x=b.
.
.
.
Если: 1) 
и 
,
и 
,
,
. (16)
, то существует обратная функция 
, возрастающая и непрерывная на [a;b]. Следовательно, 
.Таким образом, кривая АВ является графиком функции y=f(x), где 
. Тогда по теореме 9 криволинейная трапеция квадрируема и её площадь
.
.
. Т. о., получаем (16). 
.
, 
,
. (17)
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной астроидой 
.
. D
.
Определение. Криволинейным сектором называется плоская фигура, ограниченная кривой L и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы 
.
.
точками 
на n частей 
. Проведём лучи 
. Сектор разбит на n частей. Т.к. 
, то на каждом из частичных отрезков 
и наименьшее 
значения. На 
построим два круговых сектора с радиусами 
, 
, 
.
и 
- нижние и верхние интегральные суммы для функции 
, то есть 
, 
.
, то она интегрируема на 
выполнено 
. Пусть l<d. Тогда по теореме 2 фигура F квадрируема (так как 
).
.
, то 
. 
, 
, 
на 
.
.
установим взаимно-однозначное соответствие :
, 
, 
.
и радиусом r называется множество точек 
меньше, чем r:
.
называется открытый шар с центром в точке 
. Определения внешней, внутренней, граничной точек, границы множества остаются без изменений.
, то множество 
называется нижним объёмом тела F.
- верхним объемом тела F.
.
. При этом число 
называется объёмом тела F.
, такие, что 
, (1)
- площадь основания G, а h – высота цилиндрического тела.
. Построим два многогранных тела 
и 
с основаниями Р и Q и высотой h, их объёмы будут равны 
и 
. Для разности этих объёмов имеем :
.
и 
, (2)
, следовательно, 
, или
. (3)
. (4)
Из (3) и (4) с учетом (2) получим (1). 
, то тело F кубируемо.
вычисляется по формуле:
.
.Функция fÎC[a;b], следовательно, имеет на частичном отрезке 
, 
.
на [a;b]. Так как функция 
.
.
. Переходя здесь к 
, получим 
. 
Теорема 4¢. Пусть функция x=g(y) непрерывна на [c;d], c<d. Тогда тело G, образованное вращением вокруг оси ОУ криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции х=g(y), горизонтальными отрезками y=c, y=d и отрезком [c;d] оси ОУ, кубируемо и его объём 
вычисляется по формуле
.