Вычисление определенных интегралов.

Заметим, что определенный интеграл, в отличие от неопределенного, является числом, поэтому речь идет о вычислении интеграла, тогда как про неопределенный интеграл, представляющий собой множество первообразных, следует говорить: найти интеграл.

Согласно формуле Ньютона- Лейбница, определенный интеграл есть разность значений первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования. Следовательно, вычисление определенного интеграла сводится к вычислению первообразной в двух данных точках, являющихся пределами интегрирования. Для нахождения первообразной используются способы, применяемые при отыскании неопределенного интеграла такие, как подведение под знак дифференциала, интегрирование по частям, замена переменной. Рассмотрим те из них, которые имеют особенности по сравнению с неопределенным интегралом.

1. Интегрирование по частям.

Если функции и непрерывно дифференцируемы на отрезке , то справедлива формула интегрирования по частям

.
Эта формула отличается от аналогичной формулы для неопределенного интеграла только наличием пределов интегрирования.

2. Замена переменной в определенном интеграле.

Если - функция с непрерывной производной , определенная при , и если , , причем значения не выходят за пределы отрезка , то

= .

При вычислении удобнее пользоваться формулой замены переменной, представленной в виде

,
здесь - функция с непрерывной производной, определенная для .

Правило замены переменной в определенном интеграле отличается от соответствующего правила для неопределенного интеграла необходимостью поменять пределы интегрирования, но зато в определенном интеграле не требуется возвращаться к старой переменной.

При вычислении определенного интеграла первообразную нужно искать на заданном отрезке, поэтому необходимо следить за тем, чтобы подынтегральная функция была интегрируемой, первообразная – непрерывной, а преобразования - тождественными на этом отрезке.

Пример.Вычислить интеграл .

Решение. = .

Замечание. При вычислении интеграла использована одна из так называемых формул понижения степени , которые применяются для вычисления интегралов от четных степеней синусов и косинусов.

Пример.Объяснить, почему формальное применение формулы Ньютона – Лейбница в интеграле приводит к неверным результатам.

Решение. = ,
чего быть не может, так как подынтегральная функция неотрицательна на промежутке интегрирования и не равна тождественно нулю. Результат неверен, так как первообразная разрывна на промежутке интегрирования.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Применим формулу интегрирования по частям
= =1.

Замечание. Полученный в процессе интегрирования по частям интеграл вообще говоря, является несобственным, но его первообразная непрерывна, поэтому применение формулы Ньютона-Лейбница правомерно.

Пример. Показать, что для любого и вычислить их общее значение.

Решение. Для доказательства равенства интегралов достаточно сделать замену переменной
.
Обозначим искомое значение интеграла и применим формулу интегрирования по частям
= = =
= = , откуда

.
Получили рекуррентную формулу для вычисления обоих исходных интегралов.

Заметим, что , . Поэтому
,
.

Таким образом, справедлива формула
.

Пример.Вычислить интеграл

Решение. Воспользуемся только что выведенной формулой

Замечание.Применение упомянутой выше формулы понижения степени привело бы к довольно громоздкому выражению.

Пример.Вычислить интеграл .

Решение. Сделаем замену переменной
.
В этом примере, наряду с заменой переменной, мы заменили пределы интегрирования: при , при .

В дальнейшем при каждой замене переменных пределы интегрирования меняем обязательно, не оговаривая этого специально.

Пример. Вычислить интеграл .

Решение. Применим опять замену переменной
=
= .
Замечание. На промежутке интегрирования , поэтому .

Пример.Вычислить интеграл .

Решение. Соответствующий неопределенный интеграл вычисляется с помощью замены переменной
=
= .
Применив формально эту подстановку в определенном интеграле, получим
= , так как . С другой стороны,
, и, следовательно,

.
Противоречие означает, что такая замена неправомерна. Действительно, нарушено условие непрерывности функции . Функция не является первообразной функции , так как разрывна при . Чтобы получить первообразную для на , заметим, что функция

имеет производную, равную для всех . Если постоянная С удовлетворяет условию
; , откуда , то функция непрерывна и является первообразной функции для всех . Теперь, применяя формулу Ньютона-Лейбница, получим
= .