Свойства определенных интегралов.

Свойства сформулированы в предположении, что подынтегральные функции интегрируемы на указанных промежутках и .

Кроме того, по определению .
1. . Определенный интеграл от подынтегральной функции, равной

единице, численно равен длине промежутка интегрирования.
2. = . При перемене местами пределов интегрирования знак

интеграла меняется на противоположный.
3. Линейность.

= + , где и - постоянные.

Таким образом, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, и

интеграл суммы функций равен сумме интегралов.
4. Аддитивность.

Если , то = + . Заметим, что свойство

справедливо и в случае
5. Монотонность.

Если для , то ,

то есть большей подынтегральной функции соответствует больший интеграл.

6. Модуль интеграла.

Если интегрируема на отрезке , то также интегрируема на

этом отрезке и .
7. Теорема об оценке.

Если для , то

.

Геометрически это означает, что

площадь криволинейной трапеции

заключена между

площадью прямоугольника ширины

и высоты и площадью той же ширины

и высоты
8. Теорема о среднем значении.

Если непрерывна на отрезке , то

существует точка такая, что

= .

Геометрически является высотой

прямоугольника ширины , площадь

которого в точности равна площади

криволинейной трапеции.
9. Производная интеграла с переменным верхним пределом.

Функция непрерывна и в точках непрерывности функции

, то есть . Это свойство можно сформулировать так:

производная интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной

функции от этого предела.
10. Формула Ньютона-Лейбница.

, где - первообразная функции , то есть

, кроме, может быть, конечного числа точек.

11. Интегралы от четных и нечетных функций по симметричному промежутку.

= , если - четная, то есть .

=0, если - нечетная, то есть .

Это свойство позволяет упростить вычисления.

В прикладных задачах нередко используются интегральные неравенства:
, где и ,
(неравенство Гельдера);
( )
(неравенство Минковского).

Проиллюстрируем примерами некоторые свойства определенного интеграла.

Пример.Вычислить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция кусочно непрерывна (имеет на промежутке интегрирования конечное число точек разрыва первого рода), следовательно, интегрируема на этом промежутке. Воспользуемся свойством аддитивности интеграла и определением функции . = =

Пример.Вычислить интеграл .

Решение. В этом примере функция не является разрывной, однако найти первообразную подынтегральной функции на всем промежутке интегрирования не представляется возможным. Воспользуемся аддитивностью интеграла и определением модуля
= = =1, что совершенно очевидно геометрически, так как интеграл представляет собой сумму площадей двух равнобедренных прямоугольных треугольников с катетами равными 1.

Пример.Не вычисляя интегралов, выяснить, какой из них больше: или

Решение. Так как промежутки интегрирования всех интегралов совпадают, по свойству монотонности больше тот интеграл, чья подынтегральная функция больше. Известно, что , следовательно,

Пример.Определить среднее значение функции
на отрезке

Решение. По теореме о среднем значении его можно вычислить по формуле В нашем случае

Пример. Вычислить

Решение. Подставляя предельное значение , получаем неопределенность , следовательно, можно воспользоваться правилом Лопиталя ( числитель и знаменатель дроби дифференцируемы в окрестности точки ).

При вычислении предела помимо свойства дифференцирования интеграла по верхнему пределу использованы эквивалентности при , вытекающие из первого замечательного предела.

Пример. Оценить интеграл

Решение.Подынтегральная функция непрерывна на отрезке , следовательно, достигает на этом отрезке наибольшего и наименьшего значений. Найдем эти значения. Критические точки Одна из этих точек Сравним значения и Очевидно, наименьшее, а наибольшее значение. Таким образом, по теореме об оценке

Замечание. Отметим, что первообразной данной функции не существует, поэтому применить формулу Ньютона-Лейбница для вычисления интеграла не представляется возможным.