Применение определенных интегралов.

1. Вычисление площадей плоских фигур.
Как следует из геометрического смысла определенного интеграла, для неотрицательной подынтегральной функции интеграл есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезками прямых и кривой . .
В общем случае, когда фигура ограничена сверху кривой , а снизу - , формула для вычисления площадей принимает вид
. В этой формуле знаки функций и значения не имеют.

а) Формула площади в декартовых координатах.

Итак, если ограничивающие кривые заданы в декартовых координатах , то
.

б) Формула площади для кривой, заданной параметрически.

Если - параметрические уравнения гладкой замкнутой кривой, пробегаемой против часовой стрелки и ограничивающей слева от себя область , то площадь области
= , или
.

в) Формула площади в полярной системе координат.

Если - непрерывная функция при , то площадь области
вычисляется по формуле
.

2. Вычисление длин дуг кривых.

а) Длина дуги в декартовых координатах.

Если - непрерывно дифференцируемая функция, то длина соответствующей дуги кривой вычисляется по формуле
.

б) Длина дуги кривой, заданной параметрически.

Если - параметрические уравнения гладкой кривой, то длина ее дуги равна
, где и - производные функций и соответственно, по параметру .

Существует аналогичная формула для длины дуги пространственной гладкой кривой :
.

в) Длина дуги в полярных координатах.

Если - непрерывно дифференцируемая функция при , то длина соответствующего отрезка кривой равна
.

3. Вычисление объемов.

а) Объем тела с известным поперечным сечением.

Если есть площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси в точке , и функция интегрируема на , то для объема тела справедлива формула

.

б) Объем тела вращения.

Объем тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции , где - непрерывная функция, равен
.

В общем случае, объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры , где и - непрерывные неотрицательные функции, равен
.
4. Вычисление площадей поверхностей вращения.

Площадь поверхности, образованной вращением гладкой кривой вокруг оси , равна
.
Здесь - дифференциал дуги.

В общем случае, площадь поверхности, полученной при вращении гладкой кривой вокруг произвольной оси,
, где есть расстояние от точки , лежащей на ,
до оси вращения, а , как и ранее, - дифференциал дуги.

Пример.Найти площадь области, ограниченной линиями и .

Решение. В этом примере функция, ограничивающая область снизу, не является гладкой. Поэтому, пользуясь свойством аддитивности интеграла, найдем искомую площадь как сумму двух интегралов.
= .
Если в качестве независимой переменной выбрать , то и - непрерывные функции, и площадь области можно вычислить проще
.

Замечание. Пределы интегрирования найдены из системы уравнений
.

Пример. Найти площадь эллипса

Решение. Для удобства вычисления представим уравнение эллипса в параметрическом виде

Так как эллипс симметричен относительно обеих осей, можем рассмотреть четверть эллипса, лежащую в первом квадранте. Тогда

Замечание. Формула площади круга является частным случаем этой формулы при

Пример.Найти площадь области, ограниченной петлей кривой
.

Решение. Петля кривой проходится в положительном направлении при изменении от –1 до 3.
= = =
= .

Пример. Найти площадь области, ограниченной кривой .

Решение. Область определения данной функции удовлетворяет неравенству , то есть . Таким образом, при кривая образует три симметричные петли (трехлепестковая роза). Половина лепестка , ( ).
Его площадь составляет шестую часть искомой площади. Итак
.

Замечание. Аналогично можно найти площади других лепестковых роз и их частей.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли

Решение. Перейдем к полярным координатам по формулам Учитывая, что получим , или
Область определения этой функции удовлетворяет неравенству откуда . Две одинаковые петли лемнискаты расположены в первой и третьей четвертях.

Пример. Найти длину дуги кривой .

Решение. Функция непрерывно дифференцируема на заданном отрезке и . = ,
так как .
.

Замечание.Необходимости в иллюстрации не возникло, так как пределы интегрирования даны в условии задачи.

Пример. Найти площадь и длину астроиды .

Решение. Кривая задана параметрически непрерывно дифференцируемыми

функциями.
= ,
= .

Учитывая полную симметрию данной кривой относительно осей координат, можно ограничиться промежутком интегрирования , получив при этом четверть искомой площади и четверть длины.
Тогда, = =
+ = = .
.

Замечание. В декартовых координатах уравнение астроиды имеет вид
. Нетрудно убедиться в равносильности этих уравнений.

Пример.Найти длину дуги кривой
от точки А(0,0,0) до точки В(0, ).

Решение. Так как производные
непрерывны при , то
=
= =
= , так как .
.

Пример. Найти длину кардиоиды
и площадь фигуры, ограниченной этой кривой.

Решение. Дифференциал дуги так как
Таким образом,
Найдем площадь = = =
= = .

Рассмотрим теперь примеры вычисления объемов. Следует заметить при этом, что основным инструментом вычисления объемов служат кратные интегралы, но в некоторых случаях можно обойтись определенными интегралами.

Пример.Найти объем тела, ограниченного эллипсоидом

Решение. При фиксированном сечением эллипсоида является эллипс , площадь которого, как известно, равна произведению его полуосей на число . Таким образом, переменная площадь сечения , так как полуоси эллипса равны и .
Учитывая, что , получим формулу для вычисления объема эллипсоида

Замечание. Обратите внимание, что формула для вычисления объема шара есть частный случай этой формулы при
При вычислении интеграла использовано свойство интеграла от четной функции по симметричному промежутку.

Пример. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси круга (Такое тело называется тором).

Решение. Вращающаяся плоская фигура (круг) ограничена слева полуокружностью , а справа полуокружностью . Следовательно, по обобщенной формуле объем тора равен =

Замечание. Аналогично можно вывести формулу для вычисления объема тора, образованного вращением круга радиуса вокруг оси отстоящей от центра круга на расстоянии .

Интеграл можно было не вычислять, так как соответствующая
ему криволинейная трапеция представляет собой четверть круга радиуса 1 и ее
площадь равна

Следующие примеры относятся к вычислению площадей поверхностей
вращения. Площади произвольных поверхностей вычисляются с помощью двойного интеграла и будут рассмотрены далее.

Пример.Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги синусоиды

Решение. Дифференциал дуги , следовательно, площадь поверхности
.

Вычислим полученный возвратный интеграл

Пример.Найти площадь поверхности вращения дуги окружности радиуса вокруг стягивающей ее хорды, находящейся на расстоянии от центра окружности.

Решение. Введем декартову систему координат таким образом, что начало координат совпадает с центром окружности, а хорда параллельна оси абсцисс.
Уравнение окружности в параметрическом виде
Расстояние от точек дуги до оси вращения , дифференциал дуги -
Пределы интегрирования найдем из условия

Таким образом,

Пример. Найти площадь поверхности, образованной вращением части кривой , расположенной над прямой вокруг этой прямой.

Решение. Из условия следует . Дифференциал дуги Расстояние от кривой до оси вращения =
Следовательно,

Замечание. При вычислении интеграла использованы свойства интеграла по симметричному промежутку от четной и нечетной функций, а именно ,

Для нахождения первообразной можно использовать неопределенные коэффициенты. Вспомним этот простой и эффективный метод. =
Продифференцируем обе части последнего равенства и умножим на .
Получим Сравним коэффициенты многочленов при одинаковых степенях , откуда Таким образом,

= .

Если интерпретировать подынтегральную функцию как переменную плотность в каждой точке отрезка, то интеграл представляет собой массу стержня с заданной плотностью.

Определенные интегралы можно также использовать для вычисления статических моментов и координат центра тяжести неоднородных плоских пластин, но более естественные формулы получаются с применением двойного интеграла, поэтому здесь эти приложения не рассматриваются.