Суммы Дарбу.

Обозначим , .
Тогда и называются соответственно нижней и верхней суммами Дарбу.

Необходимым и достаточным условием существования определенного интеграла является равенство пределов нижней и верхней сумм Дарбу, то есть = .

Этот общий предел сумм Дарбу и есть предел интегральной суммы, равный по определению определенному интегралу.
= = = .

Геометрически суммы Дарбу представляют собой площади ступенчатых фигур, являющихся приближениями площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми . Причем нижняя сумма – приближение с недостатком, а верхняя – с избытком. Таким образом, определенный интеграл от неотрицательной функции есть площадь криволинейной трапеции.

Для того, чтобы функция была интегрируема на отрезке , ее непрерывность на этом отрезке не обязательна. Достаточным условием интегрируемости функции на отрезке является ее кусочная непрерывность на этом отрезке.

Функция называется кусочно непрерывной на отрезке если она имеет на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода.

Пример.Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямыми .

Решение. Разобьем промежуток интегрирования на равных частей длиной . - точки деления. Принимая во внимание то, что функция строго возрастает на промежутке , составим суммы Дарбу, и найдем их пределы при .
= = . .
= = .
.
Так как - площадь ступенчатой фигуры, меньшая искомой площади, а
- площадь ступенчатой фигуры, большая искомой площади, то искомая площадь
= = .
Пределы нижней и верхней сумм Дарбу совпадают, следовательно, функция интегрируема на промежутке и
.

Пример. С помощью определенного интеграла найти предел суммы
.

Решение. Представим искомую сумму в виде интегральной суммы = . В этой сумме . Но тогда
= (согласно предыдущему примеру).

Пример. Доказать тождество

Решение. Положим Тогда правая часть тождества равна

Нетрудно заметить, что левую часть тождества можно представить в таком же виде. Осталось показать, что существует конечный предел этого выражения
при
= .
Полученное выражение является интегральной суммой, следовательно,