Раздел 1. Первообразная и неопределенный интеграл.

Тема: НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Цель темы:Освоить понятия первообразной и неопределенного интеграла, узнать их свойства, познакомиться с непосредственным интегрированием функций.

Усвоив тему, Вы сможете оперировать учебными элементами:

1) Первообразная:

- приводить примеры первообразных;

- формулировать свойства первообразных.

2) Неопределенный интеграл:

- приводить различные примеры неопределенных интегралов;

- определять подынтегральную функцию и подынтегральное выражение;

- приводить примеры непосредственного интегрирования неопределенного интеграла.

Требования к знаниям и умениям по учебным элементам:

1) Первообразная:

- знать определение первообразной функции.

2) Неопределенный интеграл:

- уметь пользоваться таблицей первообразных (неопределенных интегралов).

Учебные результаты:

1. Освоить понятия первообразной функции и неопределенного интеграла.

2. Освоить свойства первообразной функции и неопределенного интеграла.

3. Уметь находить неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Раздел 1. Первообразная и неопределенный интеграл.

А)Охарактеризуйте в нескольких фразах понятие первообразная._____________________________________________________

_________________________________________________________

_________________________________________________________

Б) Прочитайте текст «Свойства первообразной и неопределенного интеграла» (Задание 1).По ходу чтения текста, обозначьте свое понимание данного материала с помощью специальных пометок. Знаком «галочка» (V) отмечается в тексте информация, которая вам уже известна. При этом источник информации и степень достоверности не имеет значения. Знаком «плюс» (+) отмечается новое знание, новая информация. Знаком «вопрос» (?) отмечается то, что осталось непонятным и требует дополнительных сведений, вызывает желание узнать поподробнее. Знаком «восклицательный знак» (!) отмечается то, что вызывает сомнение, что было бы интересно обсудить, сравнить с мнением других.

Задание 1

Свойства первообразной и неопределенного интеграла

Место для пометок

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b)называется такая функция F(x), что выполняется равенство F׳(x) = f(x)для любого х из заданного промежутка. Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство(F(x)+C)׳ = f(x). Таким образом, функция f(x)имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину. Отыскание первообразной функции – операция, обратная дифференцированию, ее называют также интегрированием. Эта операция неоднозначна – для данной интегрируемой функции f(x) существует бесконечно много первообразных, но каждые две из них отличаются на константу. Совокупность всех первообразных функций называется неопределенным интегралом от f(x). и обозначается ∫ f(x) dx. Если F(x) - какая-нибудь первообразная для функции f(x), то ∫ f(x) dx = F(x) + C, где С - произвольная постоянная. Выражение f(x) dx называют подынтегральным выражением, а f(x)– подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x). Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C. На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла(свойства первообразной). 1. , т.е. производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.   2. , т.е. неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы. 3. , где k – произвольная константа. Следовательно, коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла. 4. , т.е. неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций. Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения. Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств: , Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах. Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь: первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно; второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.

В) Заполните таблицу, обозначив в ней результаты изучения текста: