Непосредственное интегрирование

Задача отыскания первообразной функции не всегда имеет решение, в то время как продифференцировать мы можем любую функцию. Это объясняет отсутствие универсального метода интегрирования.

Свойства неопределенного интеграла позволяют по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. Таким образом, используя равенства и можно из таблицы производных основных элементарных функций составить таблицу первообразных.

Таблица первообразных (неопределенных интегралов)

Непосредственное интегрирование базируется на использовании свойств неопределенных интегралов , , правила интегрирования и таблицы первообразных.

Пример 1: Найти интеграл .

Решение: Сначала преобразуем подынтегральную функцию dx. Затем применим свойство, которое утверждает что интеграл суммы функций равен сумме интегралов:

.

Числовой коэффициент можно вынести за знак интеграла:

.

Первый из интегралов приведен к табличному виду, поэтому из таблицы первообразных для показательной функции имеем

.

Для нахождения второго интеграла воспользуемся таблицей первообразных для степенной функции

и правилом . То есть,

.

Следовательно,

, где .

Ответ: .

Обычно, подынтегральное выражение сначала требуется слегка преобразовать, чтобы можно было использовать таблицу основных интегралов и свойства интегралов.

Пример 2: Найти интеграл .

Решение:

Коэффициент 3 можно вынести из под знака интеграла на основании свойства: .

Преобразуем подынтегральную функцию (по формулам тригонометрии):

Так как интеграл суммы равен сумме интегралов, то

Пришло время обратиться к таблице первообразных:

Ответ: .

Пример 3: Найти интеграл .

Решение: Применим правило интегрирования и таблицу первообразных, получим:

Ответ: .

Таким образом, таблица первообразных вместе со свойствами и правилом интегрирования позволяют найти массу неопределенных интегралов.

Пример 4: Найти интеграл .

Решение: Преобразуем подынтегральную функцию так, чтобы можно было воспользоваться свойством и таблицей первообразных, получим:

Ответ: .

Далеко не всегда можно преобразовать подынтегральную функцию, чтобы использовать таблицу первообразных. К примеру, в таблице первообразных отсутствует интеграл от функции логарифма, функции арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, функции тангенса и котангенса. Для их нахождения применяются специальные методы.

Несомненно, основным методом нахождения первообразной функции является непосредственное интегрирование с использованием таблицы первообразных и свойств неопределенного интеграла. Все другие методы используются лишь для приведения исходного интеграла к табличному виду.

В) Представьте прочитанный текст в виде кластеров или «грозди» - это графический способ организации учебного материала). Для этого выделите смысловые единицы различного ранга и представьте их в графической форме, учитывая связи между ними:

₪