интеграле. Интегрирование чётных и нечётных функций.

Определение.Функция f(x) называется непрерывно дифференцируемой на [a;b], если она непрерывна на [a;b] и её производная f ¢ тоже непрерывна на [a;b].

Множество всех функций, определённых и непрерывно дифференцируемых на [a;b] обозначают C¹[a;b].

Теорема 1.Если u=u(x) и v=v(x) непрерывно дифференцируемы на [a;b], то . (1)

Доказательство.

По условию u и v имеют непрерывные производные на [a;b]. Следовательно, функция uv имеет непрерывную производную на [a;b].

(u(x)v(x))¢=u¢ (x)v(x)+u(x)v¢ (x). Отсюда следует, что функция uv является первообразной для (u¢ v+uv¢ ), непрерывной на [a;b]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница . По свойству интеграла

. Отсюда получаем (1).

Замечание.u¢ (x)dx=du, v¢ (x)dx=dv, следовательно, формула (1) может быть записана в виде .

Теорема 2.Пусть 1) f C[a;b],

2) x=φ(t) C¹[α;β] –однозначная функция и "t [α;β] x=φ(t) [a;b] (т.е. φ[α;β]Ì[a;b]),

3) φ(α)=a, φ(β)=b.

Тогда справедлива формула . (2)

Доказательство.

Т.к. f C[a;b], то она имеет первообразную. По формуле Ньютона-Лейбница . (3)

Рассмотрим функцию F(φ(t)).

(F(φ(t))¢=F¢_x(φ(t))φ¢_t(t)=f(φ(t))φ¢ (t), т.к. F¢ (x)=f(x). Отсюда следует, что функция F(φ(t)) является первообразной для f(φ(t))φ¢ (t) на [α;β]. Поэтому, применяя формулу Ньютона-Лейбница, получим

. (4)

Из равенств (3) и (4) следует равенство (2)

Пример.

.

Теорема 3.Пусть f R[-a;a], тогда

если f - чётная на [-a;a], то ;

если f - нечётная на [-a;a], то .

Доказательство.

;

.

Следовательно, .

Если f – чётная, то f(x)+f(-x)=2f(x). Следовательно, .

Если f – нечётная, то f(x)+f(-x)=0. Следовательно, .