Существование первообразной функции. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть f R[a;b]. Тогда "x: a≤x≤b f R[a;x], т.е. существует . Переменную интегрирования обозначим через t, чтобы не смешивать её с верхним пределом x. Это можно сделать, т.к. величина определённого интеграла не зависит от буквенного обозначения переменной интегрирования. Рассмотрим функцию Ф(х) ,(1)

определённую на [a;b]. Она называется интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 1.Если f(x) непрерывна на [a;b], то функция Ф(x) имеет производную в каждой точке xÎ[a;b], причём Ф¢ (x)=f(x). (2)

Доказательство.

Выберем произвольно точку x₀ [a;b]. Точке x₀ придадим приращение Δx≠0 так, чтобы x₀+Δx [a;b]. Тогда Ф(x) получит приращение

ΔФ(x₀)=Ф(x₀+Δx)-Ф(x₀)=

,

где c [x₀;x₀+Δx] (по теореме о среднем). При Δx→0 c→x₀.

. (3)

По условию f непрерывна в точке x₀ (т.к. f C[a;b]). Следовательно, существует .

Т.к. существует предел правой части равенства (3), равный f(x₀), то существует и предел левой части равный Ф¢ (x₀). Переходя в равенстве (3) к пределу, получим Ф¢ (x₀)=f(x₀).

Итак, если f C[a;b], то Ф имеет производную в каждой точке xÎ[a;b], и при этом Ф¢ (x)=f(x).

Теорема 2.Если f C[a;b], то она на [a;b] имеет первообразную, причём любая её первообразная имеет вид .

Доказательство.

Т.к. f C[a;b], то по теореме 1 Ф(x) дифференцируема на [a;b] и Ф¢ (x)=f(x), т.е. Ф(x) является первообразной для f(x) на [a;b]. Следовательно, любая первообразная F(x) на [a;b] будет иметь вид F(x)=Ф(x)+C или .

Теорема 3.Пусть f непрерывна на [a;b]. Если F(x) является произвольной её первообразной на [a;b], то . (4)

Формула (4) называется формулой Ньютона-Лейбница.

Доказательство.

Т.к. f(x)ÎС[a;b], то она на [a;b] имеет первообразную. Пусть F - произвольная первообразная для f(x) на [a;b], и пусть . По теореме 1 функция Ф(x) также является первообразной для f на [a;b]. Итак, функции F(x) и Ф(х) являются первообразными для одной и той же функции, значит, они отличаются на постоянную, т.е. Ф(x)=F(x)+C₀, x [a;b]. Следовательно, .

Положим здесь x=a, получим, С₀=-F(a). Отсюда, .

Положим здесь x=b, получим .

Обозначим . Тогда формула Ньютона-Лейбница примет вид .