Основные свойства определённого интеграла.

1. . (1)

Доказательство.

Пусть a<b. Выберем произвольное разбиение отрезка [a;b] и произвольно выберем точки ξ_k [x_k-1;x_k]. Составим .

Будем считать

а-верхним пределом, b-нижним пределами интегрирования (для выбранных Т и ξ_k):

b=x₀′>x₁′>x₂′>…>x′_n-1>x′_n=a, ∆x′_k=x′_k-x′_k-1<0, .

. Следовательно, S′=-S. (2)

По условию существует . Следовательно, существует

. Переходя в равенстве (2) к пределу при l®0, получим равенство (1).

2.Если f и g интегрируемы на [a;b], то и функция f+g также интегрируема на [a;b], причём (3)

Доказательство.

Выберем произвольное разбиение отрезка [a;b] и произвольно выберем точки ξ_k [x_k-1;x_k].

. (4)

По условию существуют , . Следовательно, существует предел правой части равенства (4), равный . Значит, существует и предел левой части:

.

Переходя в (4) к пределу, получим (3).

3. Если f R[a;b], , то функция cf R[a;b] и

. (5)

Доказательство.

Выберем произвольное разбиение отрезка [a;b] и произвольно выберем точки ξ_k [x_k-1;x_k]. Имеем . (6)

Т.к. f R[a;b], то существует . Следовательно, существует и предел левой части равенства (5) и он равен . Переходя в (6) к пределу, получим (5).

Следствие.Если f, g R[a;b] и α, β , то функция (αf+βg) R[a;b] и

.

В частности, .

4. Если f R[a;b], то f R[α;β], где [α;β] [a;b].

Доказательство.

Выберем произвольное разбиение отрезка [a;b]. Т.к. f R[a;b], то "ε>0 $δ>0, такое, что для любого разбиения Т: λ<δ выполнено . Пусть Т: λ<δ. Присоединим к Т точки α и β. Получим разбиение Т′. По свойству 2 верхних и нижних сумм Дарбу , . Следовательно,

. (7)

Разбиение Т′ порождает разбиение Т² отрезка[α;β]. Следовательно, и для и будет выполняться (7), т.е. для любого разбиения Т″: λ<δ. По необходимому и достаточному условию интегрируемости это означает, что f R[α;β].

5.(Аддитивное свойство интеграла) Пусть a<c<b и f R[a;b]. Тогда f R[a;с] и f R[с;b] и . (8)

Доказательство.

Интегрируемость функции f на [a;c] и [c;b] следует из свойства 4. Докажем (8). Пусть Т - произвольное разбиение отрезка [a;b]. Т.к. предел S(T, ξ_k) не зависит от способа разбиения [a;b], то будем считать, что с – одна из точек деления. Выберем произвольно точки ξ_k [x_k-1;x_k], . Т порождает разбиение Т¢ с точками ξ¢_k отрезка [a;c] и Т² с точками ξ²_k отрезка [c;b], причём Т=Т¢ Т², {ξ_k}={ξ¢_k } {ξ²_k }. Тогда

S(T,ξ_k)=S(Т¢,ξ¢_k)+S(Т²,ξ²_k). (9)

Ясно, что λ(Т¢ )≤λ(Т), λ(Т² )≤λ(Т). Следовательно, если λ(Т)→0, то λ(Т¢ )→0 и λ(Т² )→0. Переходя к пределу в (9), получим (8).

Интегрирование неравенств

6.Если f R[a;b] и f(x)≥0 на [a;b], a<b, то . Если f(x)≤0, a<b, то .

Доказательство.

Пусть f(x)≥0 "x [a;b], a<b. Выберем произвольное разбиение отрезка [a;b] и произвольно точки ξ_k [x_k-1;x_k], . Составим интегральную сумму . Т.к. f(ξ_k)≥0 и Δx_k>0, то S(T,ξ_k)≥0. Переходя к пределу, получим . Случай f(x)≤0 – аналогично.

` Замечание 1. Если f(x)≥0, a>b, то ;

если f(x)≤0, a>b, то .

Замечание 2.Если f(x)≥m, a<b, то .

Доказательство.

Действительно, f(x)-m≥0, a<b, следовательно, . С другой стороны, . Следовательно, . Отсюда .

Замечание 3.Пусть f непрерывна и неотрицательна на [a;b]. Если f(x₀)>0, где x₀ [a;b], a<b, то .

Доказательство.

Т.к. f непрерывна на [a;b], то f непрерывна в x₀ [a;b]. Следовательно, "ε>0 $δ>0, такое, что "x (x₀-δ;x₀+δ) выполнено |f(x)-f(x₀)|<ε. Возьмём . Обозначим α=x₀-δ, β=x₀+δ. Тогда "x (α;β) следует:

, .

Тогда .

7.Пусть f, g R[a;b], a<b, f(x)≤g(x) "x [a;b]. Тогда .

Доказательство.

Применим свойство 6 к функции (g(x)-f(x))≥0: . С другой стороны, . Следовательно, . Отсюда .

Замечание.Если f, g C[a;b], и в любой точке x₀ [a;b] выполнено неравенство f(x₀)<g(x₀), то .

8.Если f R[a;b], a<b, то | f | R[a;b] и . (10)

Доказательство.

1) Докажем, что | f | R[a;b]. Выберем произвольное разбиение отрезка [a;b]. Обозначим , .Справедливо неравенство

(11)

(если m_k и M_k одного знака, то , а если разного, то ).

Умножим обе части (11) на Δx_k и просуммируем по k от 1 до n. Получим . Т.к. f R[a;b], то по критерию интегрируемости "ε>0 $δ>0, такое, что , если λ<δ. Значит, . Поэтому | f | R[a;b].

2) Докажем (10). В силу свойств модуля -| f(x)|≤ f(x)≤| f(x)|. Проинтегрируем по х на [a;b], используя свойство 7 и свойство 3:

.

Следовательно, (по свойству модуля), .

9.Теорема о среднем значении определённого интеграла.

Если f непрерывна на [a;b], то на [a;b] существует точка с, такая, что

. (12)

Доказательство.

Т.к. f C[a;b], то f достигает на [a;b] наименьшего и наибольшего значений m и M соответственно, т.е. "x [a;b] m≤f(x)≤M.

а) Пусть a<b. По свойству 7 . Следовательно,

. (13)

Отсюда . Обозначим , где – число, заключённое между m и M. Т.к. f непрерывна на [a;b], то существует точка с [a;b], такая, что f(c)=μ. Следовательно, .

б) Пусть a>b. Тогда .