Бета-функция.

С гамма-функцией тесно связана бета-функция .

Определение5.3.3: бета-функцией называется несобственный интеграл, который зависит от двух параметров : (5.3.3.1) (4)
(интеграл в правой части равенства (5.3.3.1) называется Эйлеровым интегралом первого рода).

Интеграл (5.3.3.1) сходится при .

Другое аналитическое представление бета-функции.

(5.3.3.2)

Выражение бета-функции через гамма-функцию.

Бета-функция может быть легко выражена через гамма-функцию.

(5.3.3.3)

; разделим обе части этого равенства на и положим ;тогда
(*)

положим в (*)

: ;

откуда и т.д. – см. «Избранные главы высшей математики» стр. 100-101.

Из формулы (5.3.3.3.) вытекает интересное следствие: положив , получим , но , поэтому имеем:

Итак, ; (перед корнем знак «+», так как при , ).

Отсюда в свою очередь можно вывести значение важного интеграла .

.Следовательно, .

Замечание: в приложениях функцию обычно сводят к гамма-функции.

И гамма-функция и бета-функция широко используются при вычислении определенных интералов

Пример 5.3.4: доказать, что при любом действительном числе .

Решение

Пример 5.3.5:

Докажем, что интеграл сходится при (№1575,Демидович.):
(промежуточная точка

I. взята лишь из соображений удобства, её роль могла играть любая другая).
Исследуемый интеграл будет сходиться, если будут сходится оба интеграла в правой части. Первый интеграл есть несобственный интеграл от неограниченной функции, так как при функция , если . Так как и (при ) сходится, то и интеграл сходится при . является несобственным интегралом с бесконечным промежутком интегрирования. По принципу сравнения можно доказать, что он сходится при -произвольном.

II. (№1574,Демидович):
Докажем, что сходится при .
.

Приложения определенного интеграла.

Определенный интеграл имеет разнообразные приложения в области геометрии (вычисление площадей, объемов, длин кривых) и механики (вычисление работы переменной силы и др.). мы рассмотрим некоторые из них.

Геометрические приложения определенных интегралов.