Несобственные интегралы от разрывных функций

Рассмотрим теперь функцию , заданную в конечном промежутке, но имеющая разрыв. Пусть функция определена и непрерывна в промежутке , а при функция либо неопределена, либо терпит разрыв.

В этом случае нельзя говорить об интеграле как о пределе интегральных сумм, так как не является непрерывной на отрезке , и поэтому этот предел может и не существовать.

Интеграл от функции , разрывной в точке , определяется следующим образом:

(5.2.1)

(где ). Определение5.2.1: предел интеграла при (конечный или бесконечный) называется несобственным интегралом от функции в пределах от до

В случае, если этот предел конечен, говорят, что несобственный интеграл сходится, а сам предел называют его значением. Функцию называют интегрируемой в промежутке .

Если же предел бесконечен или вовсе не существует, то говорят, что интеграл расходится, и тогда символу не приписывают никакого значения.

Аналогично можно ввести понятие несобственного интеграла, если функция имеет разрыв в точке : по определению полагают: (5.2.2)

Если функция имеет разрыв внутри отрезка , при , то (5.2.3)

(при условии, что оба несобственных интеграла в правой части существуют).

Если же хотя бы один из интегралов расходится, то несобственный интеграл расходится.

Пример 5.2.1: при функция имеет разрыв. Поэтому

Интеграл расходится (рис 5.2.1)

Для определения сходимости несобственного интеграла от разрывных функций и оценки их значений часто могут быть применены теоремы, аналогичны теоремам для оценки интегралов с бесконечными пределами. Теорема5.2.1: (признак сравнения):

если на отрезке функции и разрывны в точке , причем во всех точках этого отрезка , то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла .По признаку сравнения данный интеграл расходится.

Теорема5.2.2(призниксравнения): если на отрезке функции и разрывны в точке , причем во всех точках этого отрезка , то из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .Теорема5.2.3.: если - знакопеременная на отрезке функция, разрывна только при , и несобственный интеграл от абсолютной величины этой функции сходится, то сходится также интеграл от самой функции.Имеет место также теорема аналогичная теореме (*).

5.3Интегралы, зависящие от параметра. Рассмотрим интеграл вида

, (5.3.1)

где под знак интеграла, помимо переменной интегрирования , входит параметр (произвольная постоянная ), т.е. величина, которая в процессе интегрирования считается постоянной, но вообще может принимать разные значения.

Если параметр будет меняться, то будет меняться и значение определенного интеграла (5.3.1). Таким образом, определенный интеграл (5.3.1) есть функция от ; поэтому мы его можем обозначить через :

(5.3.2)

Такие интегралы часто встречаются в приложениях, когда интегрируемая функция включает в себя какие-либо массы, размеры и т.п., которые в процессе интегрирования являются постоянными.

Замечание5.3.1: мы для простоты будем считать, что подынтегральная функция содержит только один параметр, хотя результаты получаются аналогичными при любом числе параметров.

Пример5.3.1:

.

Рассмотрим некоторые свойства интеграла (5.3.1):

1) Непрерывность интегралов зависящих от параметра:
Если подынтегральная функция при и зависит от непрерывно (в интервале ) т.е. функция непрерывна.
Доказательство:

это свойство вытекает , например, из геометрического смысла интеграла как площади кривой трапеции: если при бесконечно малом изменении криволинейная сторона трапеции изменится бесконечно мало, то и площадь изменится бесконечно мало.
Замечание: при этом функция не обязана зависеть от непрерывно; она может иметь конечные разрывы. Бывает, что и пределы интегрирования зависят от параметра: . Тогда для непрерывности надо дополнительно потребовать, чтобы функции и не имели разрывов.

2) ПравилоЛейбница:
возможно дифференцирование интеграла (5.3.1) по параметру под знаком интеграла другими словами, (дело в том, что интеграл (5.3.1) аналогичен сумме весьма большого числа слагаемых, каждое из которых зависит от , а дифференцирование под знаком суммы возможно, так как производная суммы равна сумме производных).
Доказательство:

пусть функция и её производная есть непрерывные функции при и (5.3.3).
Производная интеграла по параметру : (5.3.4)
для нахождения этой производной заметим, что, так как , то , и, следовательно, .

Составим отношение
.
к подынтегральной функции применим теорему Лагранжа: , где заключено между и . В следствии непрерывности функции имеем:
; откуда , где при ( зависит от ).

Таким образом, , тогда переходя к пределу, где получим ; ;

- формула Лейбница (5.3.5)

Правило Лейбница: производная от интеграла по параметру равна интегралу от производной подынтегральной функции по этому параметру.

Правило Лейбница иногда применяется для отыскания сложных определенных интегралов.

Пример5.3.2:

.

продифференцируем обе части этого равенства по параметру ,

; или (5.3.6)

Продолжая дифференцирование, сможем вычислить интеграл

для .

Вычисление их без применения правила Лейбница привело бы к

гораздо более громоздки выкладкам.

Понятие о несобственных интегралах, зависящих от параметра.

Приведенные выше теоремы относятся и к интегралам с конечными пределами и с непрерывной подынтегральной функцией.

Рассмотрим интеграл вида (наиболее часто встречающийся интеграл)

, (*)

где - непрерывная функция (т.е. интеграл не имеет особенностей при конечных ).

Конечно, прежде всего надо требовать чтобы интеграл сходился.

Однако по сравнению с предыдущим вопросом (см. интеграл (5.3.1) свойство 1)), мы сталкиваемся со следующим новым обстоятельством: даже если функция непрерывно зависит о , зависимость интеграла от может получится разрывной.

Это связано с тем, что бесконечно малое изменение функции на бесконечно большом участке интегрирования может привести к конечному изменению интеграла.

Например5.3.3:
. Подынтегральная функция непрерывна при всех значениях и ; функция же имеет бесконечный разрыв при .

Чтобы установить, при каких условиях теоремы, рассмотренные ранее для несобственных интегралов, останутся справедливыми для несобственных интегралов вида (*), введем следующее определение.

Определение5.3.1: несобственный интеграл зависящий от параметра , называется правильно сходящимся, если при рассматриваемых значениях , где функция , , и сходится.

Для правильно сходящихся несобственных интегралов имеют место следующие свойства, которые рассмотрим без доказательства:

1) Если подынтегральная функция зависит от непрерывно, то и интеграл зависит от непрерывно.

2) Если функция имеет непрерывную (частную) производную и интеграл от этой производной тоже сходится правильно, то функция дифференцируема и справедлива формула .

Гамма-функция и функциональное уравнение для неё

В качестве важного примера несобственного интеграла, зависящего от параметра, рассмотрим неэлементарную «гамма функцию», введенную Эйлером в 1729г.

Функция Г, после элементарных, является одной из важнейших функций для анализа и его приложений.

Определение5.3.2: гамма функцией называется несобственный интеграл вида:
(5.3.2.1) (1)
(этот интеграл называется также Эйлеровым интегралом второго рода).

Интеграл (5.3.1.1) есть несобственный интеграл с параметром . Он является примером интеграла, первообразная которого не выражается в виде комбинации элементарных функций. (интеграл (5.3.1.1) несобственный уже из-за бесконечного верхнего предела. Если , то интеграл (5.3.1.1) имеет особенность и при )

Сходится интеграл (5.3.1.11) при всех положительных значениях параметра : . (следовательно, формулу (5.3.1.11) надо рассматривать при . Доказательство см. «избранные главы высшей математики» стр. 92).

Гамма-функция обладает целым рядом замечательных свойств.

Среди свойств гамма - функции особое место занимает формула приведения (которая позволяет обобщить понятие факториала, известное нам из элементарной математики, на дробные и даже комплексные значения аргумента).

Покажем, что гамма-функция удовлетворяет соотношению (5.3.2.2)

Для вывода этого основного свойства гамма-функции проведем интегрирование по частям:

.

Что и требовалось доказать.

Легко подсчитать, далее, что , т.е. .

Теперь подставляя в формулу (2) последовательно , мы получим ; ; и т.д. вообще . (5.3.1.3)

Если прочитать эту формулу справа на лево то мы видим, что гамма-функция дает представление факториала. В то же время эта формула имеет смысл и для нецелых значений аргумента.

Из формулы (3) видно, в частности, что , т.е. .

Замечание 5.3.1.1: гамма-функция определяется и для отрицательных значений аргумента. Пользоваться при этом формулой (5.3.2.1) нельзя, так как интеграл расходится. Однако можно применить формулу (5.3.2.2), переписав её в виде .

Замечание 5.3.1.2: имеются таблицы значений гамма-функции.