Вычисление площадей плоских фигур.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой

y = f(x) [f(x) ≥0], двумя ординатами x = a и х = b и определить [a,b] оси OX ,вычисляется по формуле

S =

Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми y = f₁(x) и y = f₂(x) и двумя вертикалями x=a и x=b находятся по формуле

S =

Если кривая задана параметрическими уравнениями х = х(t), у =у(t),то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, ординатами х = а ,у =b и отрезанном [a,b] оси ОХ ,выражается формулой

S =

Где t₁и t₂ определяются из уравнений

a =x(t) b =x(t) [ y(t) ≥0 при t₁≤ t ≤ t ₂]

Площадь криволинейного сектора ,ограниченного кривой, заданной в полярных координатах уравнением ρ =ρ(θ) и двумя полярными радиусами θ = α, θ = β (α< β) выражается интегралом

S =

6.1.1.Вычислить площадь, ограниченную следующими линиями

у = - х²+4 и у = 0

Решение. Выполним построение фигуры.

Искомая площадь заключена между параболой у = - х²+4 и осью Ох Найдём точки пересечения карболы с осью Ох.Положив у=0 ,найдём х= ±2. Имеем: F(x) = -x²+4, a=2 и b=-2:

(кв.ед.) Парабола симметрична относительно оси Оу ,поэтому можно вычислить площадь, ограниченной параболой и осями Ох и Оу и полученный результат удвоить: S₁=

(кв.ед.);

S =2S₁ = (кв.ед.)

6.1.2. Вычислить площадь ограниченную синусоидой y=sin x и осью Ох, при 0≤х≤2π.

Решение.

Так как sin x≥ 0 при 0≤x≤π≤ и

sin≤0 при π≤ x≤2π,то

S =

= =

Следовательно S =2+|-2|=4

6.1.3. Вычислить площадь фигуры ,ограниченную линиями y=x² и у=2х+8.

Решение. Выполним построение фигуры .

Для похождение точек пересечение параболы у=х²и прямой у=2х+8 решим систему уравнения относительно x:

x₂ =2x+8 x₁=-2 x₂=4

Искомая площадь представляет собой разность площадей: .Пределы интегрирования : а=х₁=-2, b=x₂ =4

6.1.4.Вычислить площадь ограниченную кубическими параболами

6х=у³-16у и 24х=у³ – 16у

Решение: Решая совместно уравнения этих линий находим три точки пересечения данных парабол:

О(0;0), А(0;4), В(0;4).

Построим эти точки и параболы.

Искомая площадь состоит из двух одинаковых частей; половину её можно найти как разность площадей криволинейных трапеция ОСВ и ОДВ ,прилежащих к оси Оу. Согласно формулы имеем

6.1.5.Вычислить площадь ограниченную эллипсом

Решение. Оси координат совпадают с осями симметрии данного эллипса, и поэтому они делят его на четыре одинаковые части.

Четвёртую часть искомой площади, расположенную в первом квадрате, найдём как площадь криволинейной трапеции, прилежащей к оси Ох:

когда то когда ,то

Следовательно площадь данного эллипса выразится формулой

Отсюда при получается формула для площади круга

6.1.6.Найти площадь, ограниченную осью Ох и одной «аркой»циклоиды

Решение. Когда круг, производящий циклоиду, сделает полный оборот, абсцисса той точки окружности круга, которая в начале движения совпадала с началом координат, станет равной 2πα( α -радиус окружности)

В формуле надо взять .Пределы интегрирования будут равны 0 и 2π ,т.к. параметр t при одном полном обороте производящего круга пробегает отрезок [0;2π].Поэтому

Таким образом, искомая площадь в три раза больше площади катящегося круга.

6.1.7.Определить площадь, ограниченную лемнискатой Бернулли, определяемое уравнением

Решение. Лемниската-это геометрическое место точек произведение расстоянии каждой из которых от двух фиксированных точек(фокусов)-постоянная величина.

Проследим, как изменяется угол , когда радиус-вектор точки на лемнискате описывает четверть искомой площади, лежащей в первой четверти.

При .Определим ,чему равен полярный угол φ, когда радиус вектора станет равным нулю.. Подставляя в уравнение лемнискаты, получим

,откуда ; ;

Таким образом,на одной четверти площади полярный угол изменяется от до .

Поэтому четверть искомой площади

а вся площадь

6.1.8.Вычислить площадь одного лепестка розы, определяемое уравнением

Решение. Кривые, определяемые уравнение ,а также уравнением ,где αи k –постоянные величины, называются розами. Если k –чётное число, то кривая имеет 2k лепестков, если же k то кривая имеет R лепестков.