Формула Ньютона-Лейбница.

(основная формула интегрального исчисления)

Теорема 3,1: Если функция непрерывна на отрезке и есть какая-либо первообразная для на этом отрезке, то справедлива следующая формула:

(*)

Доказательство:

По условию является первообразной для функции на .

(3.1)

Где С – некоторая постоянная. Для отыскания С положим в тождестве (1) . Замечая, что при этом , получим : , откуда , и, след.,

(3.1’)

или , или, изменив обозначение переменной интегрирования с t на x, будем иметь: - Эта формула является основной в интегральном исчислении; её обычно называют формулой Ньютона-Лейбница.

Формула Ньютона-Лейбница выражает следующий весьма важный факт: Определенный интеграл на от непрерывной на этом отрезке функции равен разности значений любой первообразной функции для , вычисленных при верхнем и нижнем пределах b и a интеграла.

Эта формула сводит вычисление определенного интеграла к определению какой-либо первообразной для подынтегральной функции . Тем самым вычисление определенного интеграла от непрерывной функции сводится формулой (*) к вычислению соответствующего неопределенного интеграла

Итак, чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной на функции достаточно:

1). Вычислить неопределенный интеграл от на : , и положив С, например, равным нулю, получить одну из первообразных функций для на .

2). Вычислить и , т.е. значения функции при верхнем пределе и нижнем пределе интеграла, и из первого результата вычесть второй.

Формула Ньютона-Лейбница даёт эффективное и простое средство для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции . Ведь для ряда простых классов таких функций мы умеем выражать первообразную в конечном виде через элементарные функции. В этих случаях определенный интеграл вычисляется непосредственно по основной формуле.

Во всех тех случаях, когда возможно найти для непрерывной функции первообразную, выраженную в конечном виде через элементарные функции, можно без особого труда вычислить определенный интеграл по формуле (*).

Только с открытием этой формулы определенный интеграл смог получить то значение в математике, какое он имеет в настоящие время. С открытием этой формулы математика получила общий метод для решения различных задач частного вида и поэтому смогла значительно расширить круг приложений определенного интеграла к технике, механике, астрономии и т.д.

Приращение первообразной , полученное ею при переходе аргумента от значения к значению , т.е. разность , часто обозначается так: , где символ называют знаком двойной подстановки, саму операцию вычисления разности называют выполнением двойной подстановки относительно функции (с пределами и ).

Читается символ двойной подстановки следующим образом: “подстановка от до для функции ”

Пользуясь введённым обозначением, формулу Ньютона-Лейбница можно переписать в следующем виде:

Применим формулу Ньютона-Лейбница к вычислению нескольких определенных интегралов.

Пример 3.1.1: Вычислить

Т.к. есть первообразная функция для непрерывной функции , то по формуле (*) получаем: = .

Пример 3.1.2: Вычислить

Сначала находим соответствующий неопределенный интеграл, а затем применяем формулу (*):

При вычислении определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница надо строго следить за тем, чтобы выполнялись все условия, при которых была выведена эта формула, иначе может получиться неправильный результат.

Применение формулы Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла от непрерывной на функции предполагает выполнение равенства на всем отрезке интегрирования. Отсюда, в частности, следует непрерывность функции на этом отрезке.

Нарушение непрерывности хотя бы в одной точке отрезка (конечно, в этой точке уже не будет иметь смысла равенство ) может привести к ошибочному результату.

* * *

Очевидно, все методы вычисления неопределенных интегралов могут быть непосредственно применены и к вычислению определенных интегралов; при этом сами вычисления во многих случаях значительно упрощаются по сравнению с вычислениями, производными непосредственно (по формуле Ньютона-Лейбница).

Рассмотрим теперь вопрос о применении метода подстановки и метода интегрирования по частям к вычислению определенных интегралов.