Верхнему пределу.

Пусть функция интегрируема на отрезке , т.е. существует

Из самого определения как предела интегральной суммы следует, что если функция и пределы интегрирования а и b заданы, то интеграл определяется однозначно (есть постоянное число), и значение его не зависит от обозначения переменной интегрирования.

Переменную интегрирования можно обозначить в принципе любой буквой. Тогда справедливы равенства: (2)

Заменив это, рассмотрим определенный интеграл с нижним пределом а и верхним пределом х, где , причем переменную интегрирования мы обозначаем буквой t в отличие от верхнего предела . Каждому значению отрезка соответствует одно определенное число .

Тогда, рассматриваемый интеграл представляет собой на некоторую функцию верхнего предела . Обозначим эту функциючерез : 2’)

Относительно этой функции докажем следующую теорему.

Теорема 2.1: Если -непрерывная на функция и , то имеет место равенство:

(2.1)

Другими словами, производная от интеграла (1) по его переменному верхнему пределу равна значению подынтегральной функции при (при условии, что подынтегральная функция непрерывна).

Доказательство:

Придадим аргументу x приращение (так чтобы значение принадлежало ). Тогда новое значение функции (2’) будет: . Или по свойству 1.4.4: . Найдем приращение функции : К этому интегралу применим теорему о среднем значении (свойство 1.4.7):

, где заключено между и .

Найдем . По определению производной, .

Но если , то , поэтому и . В силу непрерывности функции (что дано по условию)

Итак, , что и требовалось доказать.

Из доказанной теоремы следуют такие теоремы:

Теорема 2.2: Если функция непрерывна на , то функция , , является первообразной для функции на этом отрезке.

Выше мы доказали, что , а это и означает, что есть первообразная функция для .

Теорема 2.3: Всякая непрерывная на функция имеет на нем первообразную. (об этом говорилось в разделе «Неопределенные интегралы»)

Доказано, примером первообразной функции для является, как мы только что видели, функция .

Теоремы 1 и 2 имеют важное значение в интегральном исчислении.