Основные свойства определенного интеграла.

Рассмотрим простейшие свойства определенного интеграла.

Свойство 1.4.1 Определенный интеграл от алгебраической суммы несколько функции равен алгебраической сумме интегралов слагаемых.

Так, в случае 2-х слагаемых: (1.4.1)

Доказательство:

По определению,

Замечание: Для любого числа слагаемых доказательство проводится аналогично.

Свойство 1.4.2 Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла:

(1.4.2)

где k=const.

Доказательство:

Свойство 1.4.3 При перестановке пределов интегрирования интеграла умножается на «-1»:

(1.4.3)

Доказано, если для отрезков [a;b] и [b;a] взять те же точки деления и те же точки , то

отвечающие им интегрируемые суммы будет отличаться лишь знаками. (во втором случае будут отрицательным).

Переходя к lim в этих суммах, получим доказываемое равенство.

Замечание. По определению полагают, что интеграл с одинаковыми пределами =0:

Свойство 1.4.4 Если отрезок [a;b] разбит на отрезки [a;c] и [c;b], то (1.4.4)

Доказательство: Разделим отрезок [a;b] на части так, чтоб точка с была одной из точек деления (т.к. lim суммы не зависит от способа разбиения)

Пусть Тогда

Так обратная интегральная сумма для отрезка [a;b] окажется состоящей из совокупности интегрируемых сумм для отрезков [a;c] и [c;b].

Переходя к пределу в равенстве (1) при всех получим доказываемое равенство.

Свойство 1.4.5 Свойство, выражаемое неравенствами

Если функция f(x), интегрируемая на [a;b], неотрицательна: и ,то (1.4.5)

Доказательство:

По условию (при любых ). В интегральной сумме все слагаемые неотрицательны, значит и сумма неотрицательна. Следовательно и её пределы тоже, т.е. определённый интеграл (при a<b).

Если на [a;b], где a<b, интегрируемые функции f(x) и удовлетворяют условию , то .

Предыдущее свойство применим к разности : т.к. , то (где a<b), откуда , или

Свойство 1.4.6 Об оценке определенного интеграла

Если функция f(x) интегрируема на , где , и имеет место неравенство то (1.4.6)

Доказательство:

Из условия теоремы имеем: (при любом i); тогда ; просуммируем . Переходя к пределу при , получим доказываемое неравенство (m и M-наименьшее и наибольшее значения функции на [a;b]).

Свойство 1.4.7 Теорема о среднем значении

Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке найдётся такая точка , что (1.4.7)

Доказательство:

Пусть ; и -наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке , тогда (по предыдущей теореме) Разделим его на ; Обозначим ;

где

По условию, -непрерывная функция, поэтому она принимает все промежуточные значения, заключенные между и (по теореме о промежуточных значений – см. свойства функции, непрерывности на отрезке).

Поэтому на найдется такая точка , что . , откуда

Замечание 1.4.7: Так как определенный интеграл есть постоянное число, которое вполне определяется подынтегральной функцией и пределами интегрирования, то безразлично, какой буквой обозначать переменную интегрирования.

Свойство 1.4.8 Оценка модуля определенного интеграла

Если функция непрерывна на отрезке , то (1.4.8)

Доказательство:

По условию, -непрерывна на ; поэтому и -функция непрерывная на этом отрезке, а потому существует.

Далее, так как , то по теореме VI (если , то при ) получаем:

, а это и означает, что