Понятие определенного интеграла.

Пусть на [a;b] задана непрерывная функция y=f(x).

1) Разобьем отрезок [a;b] на п частичных отрезков с помощью произвольно выбранных на нем точек :

2) На каждом из частичных отрезков возьмём произвольную точку (I=1,2,…,n). Во взятых точках вычислим значения функции

3) Составим произведения длин частичных отрезков на значения функции

4)Все эти произведения сложим и сумму их обозначим через :

или (1.2.1)

Сумму такого вида называют интегральной суммой, составленной для функции f(x) на отрезке [a;b].

Будем неограниченно увеличивать число делений отрезка [a;b], однако так, чтобы длина каждого отрезка стремилась к нулю и рассмотрим получающиеся при этом множество интегральных сумм .

Если при этом разбиении суммы будут стремится к одному и тому же пределу , то этот предел называют определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b]. Обозначают его с помощью символа

Определение 1.2.1: Если существует предел J суммы (1).При , то говорят, что функция f(x) интегрируема на [a;b], а число J называют определённым интегралом от функции f(x) на [a;b].

По определению,

(1.2.2)

Числа “a” и ”b” называются пределами интегрирования (или интеграла), соответственно нижним и верхним; отрезок [a;b]-промежутком интегрирования.

Таким образом – определённый интеграл есть предел множества интегральных сумм.

N-ного способа введения определённого интеграла означает, что величина его зависит только от подитегральной функции f(x) и пределов a и b интеграла.

По своему обозначению определённый интеграл назначает неопределённый. По существу это- различные понятия:

неопределенный интеграл - это некоторое множество функций от переменой интегрирования;

определенный – при постоянных a и b представляет собой число и след., никак не зависит от переменной интегрирования.

В дальнейшем, однако, будет установлена тесная связь между этими интегралами. (станет ясной сходность обозначений).

Возвращаясь теперь к задачам, рассмотренным выше и применяя введённое понятие определенного интеграла, мы можем записать, что площадь криволинейной трапеции (1.2.3) геометрический смысл определённого интеграла и что

. (1.2.4)

Необходимое условие интегрируемости функций.

Легко видеть, что функция f(x) может быть интегрируемой на отрезке только тогда, когда она ограничена на нем.

Доказано, если функция f(x) на отрезке [a;b]была бы не ограничена то при любом разбиении отрезка на части – она сохранила бы подобное свойство хоть в одной из частей. Тогда(за счет выбора в этой части точки g) можно было бы сделать f(g), а с ней и сумму ,- сколь угодно большой; при этих условиях интегральная сумма не будет иметь предела.

Таким образом – функция, интегрируемая на данном отрезке, необходимо ограничена на нем, это условие, однако, не является достаточным для интегрируемости функции.