Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла.

а) Задача о площади криволинейной трапеции (приводящая к понятию определённого интеграла)

Пусть имеем плоскую фигуру, ограниченную дугой АВ, кривой y=f(x), где f(x)- Непрерывная, неотрицательная на отрезке [a;b] функция, осью Ох и прямыми x=a и x=b .

Такая фигура называется – криволинейной трапецией.

Требуется вычислить площадь данной криволинейной трапеции.

В элементарной геометрии дается определение понятию площади только такой фигуры, которая ограничена прямолинейными отрезками, дугами окружностей.

Поэтому перед нами стоит двойная задача:

1) Дать (согласно с нашими наглядными представлениями о площади) определение понятию площади криволинейной трапеции;

2) Найти способ конкретного вычисления этой площади.

Обе эти задачи будем решать одновременно. Отрезок [a;b] оси Ox называется основанием криволинейной трапеции.

Разделим произвольным образом основание криволинейной трапеции на какое-либо число n частей точками деления.

причем

Отрезки [ ],[ ],[ ],…,[ ] назовем частными отрезками.

Из точек деления отрезка [a,b]восстановим перпендикуляры к ось Ох до пересечения их с дугой АВ (см. рис.)

Тогда криволинейная трапеция разобьётся на n «полосок».

На каждом из частных отрезков [ ],[ ],[ ],…,[ ] возьмём произвольную точку; обозначим их, соответственно,

Из этих точек восстановим перпендикуляры к оси абсцисс до встречи с дугой АВ.

Заменим каждую из полосок прямоугольником с основанием, равным основанию полоски, и высотой, равной, соответственно, значениям функции f(x), вычисленным в точках .

В результате получим ступенчатую фигуру, ограниченную сверху ломанной линией. Очевидно, что площадь ступенчатой фигуры равна сумме площадей этих прямоугольников:

(1.1)

Все слагаемые этой суммы имеют один и тот же вид; они отличаются друг от друга только значениями индекса (указателя) при независимой переменной.

Для сокращения записи вводят символ (где греческая буква (сигма)представляет собой знак суммы)

(1.2)

Это обозначение читается как: Сумма всех слагаемых вида от i=1 до i=n .Давая I значения 1,2,3,…,n, мы получим последовательно все слагаемые суммы, а соединив их между собой знаком плюс, получим сумму в развернутом виде.

Т.к. отрезок [a;b] можно разбить на частичные отрезки, различными способами и в пределах каждого частичного отрезка можно вы выбрать точки также произвольным образом, то таких ступенчатых фигур можно построить на одном сегменте сколько угодно. При этом, очевидно, что вообще говоря, зависит как от способа разбиения отрезка [a;b] на части, так и от выбора точек .

Будем теперь неограниченно увеличивать число n делений отрезка [a;b]. Однако так, чтобы длина каждого частичного отрезка (обозначим её через ) стремилась к нулю.

Для каждого из таких разбиений будем выбирать точки и вычислять площадь ступенчатой фигуры.

При таком процессе площадь ступенчатой фигуры будет стремиться к определённому пределу, который и принимают за площадь криволинейной трапеции.

б) Задача о работе переменной силы(приводящая к понятию определённого интеграла)

Пусть некоторое тело движется по прямой Охпод действием силы F, направление которой совпадает с направлением движения, а величина зависит от места нахождения тела на прямой.

Принято говорить, что при таком перемещении тела сила F совершает некоторую работу.

Вычислим работу, совершаемую переменной силой при перемещении тела из одной точки а прямой Ох в другую точку b той же прямой.

Сначала, однако, надо выяснить, что вообще понимать под работой такой силы.

В школьном курсе физики дается определение только для работы постоянной силы: A=FS, где S-пройденный путь. В данной задаче действует переменная сила на пути от a до b она, вообще говоря, меняет свое значение от точки к точке.

Сила F есть некоторая функция абсциссы точки, в которой находится тело в рассматриваемый момент. F=F(x).

Пусть функция F(x) – непрерывная функция.

Перед нами стоит задача:

1) дать определение работы переменной силы(направление которой совпадает с направлением движения).

2)указать способ вычисления этой работы.

Разобьём отрезок [a;b] произвольным образом на n частей точками деления: . На каждом из частичных отрезков возьмём произвольно, по точке: .

Сила, действующая на тело в каждой из этих точек, соответственно

равна:

Допустим, что на каждой части сила F(x) сохраняет постоянное значение равное (в силу того что частные отрезки весьма малы) тогда работа на первом частном отрезке равна На втором: и т.д.; на последнем На всём пути: или

(1.3) Будем неограниченно увеличивать число n делений [a;b] и притом так, чтоб длина каждого частного отрезка стремилась к нулю.

Если при неограниченном возрастании числа n, причем таком, что (I=1,2,…,n) сумма (1) стремится к определенному пределу А, не зависящему от выбранной системы разбиений и от выбора точек , то этот предел называется работой переменной силы F=F(x), на отрезке [a;b]:

(1.4)

Определённый интеграл широко применяется в естественных и в технических расчетах. При рассмотрении различных вопросов геометрии, физики, химии, биологии часто приходится составлять интегральную сумму и вычислять её пределы.

Рассмотрим, как с помощью определённого интеграла находить площади плоских фигур, объемов тел, длины дуг простых кривых, и т.д.

Схема применения определённого интеграла к нахождению геометрических и физических величин.

Рассмотрим схему, которой следуют, желая применить определенный интеграл к различным практическим задачам.

Эта схема вытекает непосредственно из задач(о вычислении площади криволинейных трапеции и работы переменной силы), приводящих к понятию определенного интеграла.

По этой схеме, для определения какой-нибудь неизвестной величины Q, которую невозможно измерить или вычислить непосредственно, поступают следующим образом:

Во всех задачах искомая величина связана с некоторой функцией, заданной на отрезке [a;b].

Отрезок [a,b] разбивают на частичные отрезки .

Каждой из этих частей соответствует своё значение величины Q:

Где (1.5)

-длина частичного отрезка

(1.6)

-любое промежуточное значение

Выражение интегральная аргумента x на частичном отрезке.

Сумма для функции f(x) предполагая, что длины всех частичных отрезков неограниченно убывают, находим так . (1.7)