Свойства гиперболы

Выясним форму и свойства гиперболы по ее каноническому уравнению.

1) Из уравнения (5) следует, что гипербола симметрична относительно осей и начала координат и состоит из левой ветви, расположенной в левой полуплоскости при х £ – а, и из правой ветви, расположенной в правой полуплоскости при х ³ а.

Установим форму части ветви гиперболы, расположенной в первом квадранте, где она, согласно (5), имеет уравнение

, х ³ а . (6)

Так как при х ® + ¥ отношение ®0, то из (6) следует, что при удалении точки М (х; у) гиперболы в бесконечность (т. е. при х ® + ¥) рассматриваемая часть ветви гиперболы приближается снизу к прямой у = х . В силу симметрии аналогичным свойством обладают и другие части гиперболы, расположенные во втором, третьем и четвертом квадрантах.

Определение. Прямые, имеющие уравнения

у = и у = – х, (7)

называются асимптотами гиперболы.

Для построения всей гиперболы, изображенной на рис. 2, поступают следующим образом. На осях Ох и Оу строят точки А₁(-а; 0), А(а; 0), В₁(0; -b), В(0; b). Затем через них проводят прямые, параллельные координатным осям, до их взаимного пересечения и таким образом строят прямоугольник, называемый основным прямоугольником гиперболы. Каждая из диагоналей основного прямоугольника, неограниченно продолженная в обе стороны, является асимптотой гиперболы.

После построения по точкам части ветви гиперболы в первом квадранте и симметричном отображении ее относительно осей Ох и Оу получают всю гиперболу.

2) Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к длине ее действительной оси:

. (8)

Так как у гиперболы с > а, то для любой гиперболы . Из формул (8) и (4) следует

Из последнего равенства получается геометрическое истолкование эксцентриситета гиперболы. Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньше отношение b/а, а это означает, что основной прямоугольник более вытянут в направлении действительной оси. Таким образом, эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы.

3) Найдем для фокальных радиусов r₁ и r₂ следующие выражения:

(9)

где знак плюс берется для точек М (х; у) правой ветви, а знак минус – для точек левой ветви гиперболы.

Пример 1

Построить гиперболу, заданную уравнением .

Найти координаты фокусов и эксцентриситет гиперболы.

Решение:

Приведём данное уравнение к каноническому виду

.

Справа необходимо получить «единицу», поэтому обе части исходного уравнения делим на 20:

Здесь можно сократить обе дроби, но оптимальнее сделать каждую из них «трёхэтажной»:

И только после этого провести сокращение:

Выделяем квадраты в знаменателях:

Алгоритм:

1) Находим асимптоты:

.

2) Находим две вершины гиперболы, которые расположены на оси абсцисс в точках :

если , то каноническое уравнение примет вид , откуда и следует, что . Рассматриваемая гипербола имеет вершины :

3) Ищем дополнительные точки. В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для 1-ой координатной четверти. Из канонического уравнения выражаем:

Уравнение распадается на две функции:
– определяет верхние дуги гиперболы;
– определяет нижние дуги гиперболы.

Находим точки с абсциссами :

4) Изобразим на чертеже асимптоты , , вершины , дополнительные и симметричные им точки в других координатных четвертях. Аккуратно соединим соответствующие точки у каждой ветви гиперболы:

Отрезок называют действительной осью гиперболы,
его длину

– расстоянием между вершинами; число

называют действительной полуосью гиперболы;
число – мнимой полуосью.

В нашем примере: , и, очевидно, если данную гиперболу повернуть вокруг центра симметрии и/или переместить, то эти значения не изменятся.

Для исследуемой гиперболы

Найдём координаты фокусов:

Найдём эксцентриситет гиперболы: