Полином Чебышёва 1-го рода

Покажем, как из (2) мы можем получить полином. Для этого нужно рассмотреть рекуррентные соотношения для (2).

Определим окончательно:

и скажем что будем работать с полиномами не выше 5-ой степени (для определенности).

Найдем значения , , , , .

Для этого снова вспомним:

Далее идут просто вычисления:

Используя формулу суммы косинусов при сложении и получим:

cos((n-1)t) + cos((n+1)t) = 2cos(nt)cos(t)

Что наталкивает на получение рекуррентного соотношения:

+ = 2 x.

Cледовательно

2 x - (3)

что и позволяет нам вычислять полиномы высших порядков, а именно:

Также из рекуррентной формулы видно, что если n не является целым числом, то решение может находиться только в виде формулы (2) и на полиномы распространиться не может.

Далее найдем соотношение ортогональности для .

Определим ортогональность:

(4)

Задача состоит в нахождении f(x) такой, что (4) обращается в тождество.

Но сначала нужно найти результат умножения и .

Снова делаем замену x=cos(t) и рассматриваем произведение .

Получаем по формуле произведения косинусов с различными аргументами:

=1/2{cos((n-m)t) – cos((n+m)t)}

Далее разложим разность косинусов по известной формуле и получим окончательно:

= sin(mt)sin(nt)

Подставляя найденное в (4) получим:

Видя смысл умножения синусов под интегралом (их ортогональности при n не равном m) понимаем, что выражение f(cos(t))sin(t) удобней всего взять константой, т.к. пределы интегрирования симметричны. Выражение для f(cos(t)) не требует особых и размышлений и является менее чем тривиальным:

, где а – любое число.

Тем самым мы находим выражение ортогональности для полинома 1-го рода:

при

Также напишем производящие функции для полинома

Явное выражение для :

для n=1,2,3…

а также:

для n=1,2,3…

Из последнего выражения видно, что lxl<1 для того чтобы решения не выходили в комплексную область. В точках lxl=1 имеет простые нули.