Полиномы Чебышёва 1-го и 2-го рода
Студент группы Ф-21 БО
Разгуляев В.С.
09.07.2014г.
Ярославль 2014
Введение
Прежде всего стоит разобраться с тем, откуда появляются полиномы Чебышёва.
Пусть имеется дифференциальное уравнение 2-го порядка относительно y(x):
(1)
где lxl <1 (далее мы убедимся в справедливости этого требования), а n – действительное целое число (далее мы убедимся в справедливости требования его целостности). Дифференциальное уравнение (1) называется уравнением Чебышёва.
Делая замену:
получим:
Затем найдем первую и вторую производные y(x):
Подставив замену для «х» и найденные нами производные в ур-ие (1), получим по сокращению подобных членов новое дифференциальное уравнение:
Соответствующее решение которого:
Которое опять же можно переписать в виде:
Выполняя обратную замену t=arcсos(x) и в силу произвольности С1, С2,С3 и «а» получим:
(2)
что собственно и описывает полиномы Чебышёва.
