Линейные дифференциальные уравнения

первого по­рядка

Уравнение

.

(6.32)

где и –заданные функции, называется линейным дифференциальным уравнением пер­вого порядка.

Решение уравнения (6.32) будем искать в виде произведения

(6.33)

двух неизвестных функций и . Подстановка (6.33) в (6.32) дает . После преобразований получаем

.

(6.34)

Выражение в круглых скобках в уравнении (6.34) приравняем

нулю:

,

(6.35)

тогда из уравнения (6.34) и условия (6.35) следует равенство

.

(6.36)

Из уравнения (6.35), которое представляет собой уравнение с разделяющимися переменными, можно найти функцию . Далее найденную функцию подставим в уравнение (6.36) и будем решать его относительно второй неизвестной функции .

Разделяя переменные в уравнении (6.35) и интегрируя, последовательно получаем: , , откуда

.

(6.37)

Подстановка функции из (6.37) в уравнение (6.36) дает

, откуда . Интегрируя последнее равенство, находим вторую неизвестную функцию

.

(6.38)

Возвращаясь к подстановке (6.33), находим общее решение уравнения (6.32) в виде

.

(6.39)

Полученное соотношение (6.39) можно рассматривать как формулу, дающую общее решение уравнения (6.32) при заданных функциях и .

Пример 6.8

Найти общее решение уравнения .

Решение

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка (6.32), в котором , . Подставляя эти выражения для и в формулу (6.39) и вычисляя соответствующие интегралы, получаем

= =

= .

Таким образом, – общее решение исходного уравнения.

Пример 6.9(Закон перехода вещества в раствор.)

Рассмотрим процесс перехода вещества в раствор. Известно, что при фиксированной температуре количество вещества, содержащееся в определенном объеме растворителя, не может превзойти некоторого, определенного для каждого вещества числа , соответствующего насыщенному раствору. Известно также, что по мере приближения к насыщенному раствору уменьшается количество вещества, перехо­дящего в раствор за единицу времени. Иными словами, чем больше вещества перешло в раствор, тем меньше скорость перехода.

Решение

Пусть — количество вещества, перешедшего в раствор к моменту времени . Тогда — скорость перехода, и в соответствии со сказанным можно написать:

,

где стремится к нулю при , . Эксперименты по­казывают, что для многих веществ функция пропорциональна разности , т.е. , и, следовательно,

, где > 0 – коэффициент пропорциональности.

Далее преобразуем последнее уравнение к виду .

Это – линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Согласно формуле (6.39) имеем:

Пусть - момент времени, с которого начался процесс перехода ве­щества в раствор. Очевидно, . Поэтому , откуда , и, значит,

.

(6.40)

Значения и определяются характером растворенного вещества и растворителя. Из (6.40) видно, что при любых и величина стремится к , если . Вид функции хорошо согла­суется с экспериментальными данными. Поэтому формулу (6.40) можно рассматривать как закон перехода вещества в раствор.

Пример 6.10

Конденсатор емкостью включается в цепь с нап­ряжением и сопротивлением . Определить заряд конденсатора в момент после включения.

Решение. Сила электрического тока представляет производ­ную от количества электричества , прошедшего через проводник, по времени

В момент заряд конденсатора и сила тока ; в цепи дейст­вует электродвижущая сила Е, равная разности между напряже­нием цепи и напряжением конденсатора , т. е.

Согласно закону Ома

Поэтому

Отсюда:

Теперь согласно формуле (6.39) имеем:

.

По условию при и потому и .

Таким образом, в момент времени

.