Решение

Перепишем, используя другое обозначение для производной,

.

Разделение переменных приводит к равенству .

В результате вычисления интегралов , получаем

, откуда .

Ответ. ; где – произвольная постоянная.

Пример 6.2

Решить уравнение .

Решение

Перепишем уравнение в виде . Разделение переменных приводит к равенству . В результате вычисления интегралов получаем ,

где - произвольная положительная постоянная.

Произвольная постоянная записана в форме для удобства записи формы общего решения.

Далее, используя свойства логарифмов, из последнего равенства получаем

.

Отсюда , где .

Отрицательные и неотрицательные решения охватываются одной формулой: , - произвольная постоянная.

Ответ. ; - произвольная постоянная.

Если ДУ первого порядка записано в виде (6.20), то оно будет уравнением с разделяющимися переменными, если функции и можно представить в виде произведений

, ,

в которых сомножители зависят только от одной переменной. Тогда уравнение (6.20) перепишется в следующей форме:

.

(6.25)

Деля уравнение (6.24) на произведение (предполагаем, что оно не равно нулю), получаем:

.

(6.25)

Заметим, что в уравнении (6.25) множитель перед — функция только одной переменной , а множитель перед — функция только одной переменной .

Уравнение (6.25) называется уравнением с разделенными переменны­ми. Общим интегралом уравнения (6.25) является соотношение

.

(6.26)

Пример 6.3

Решить уравнение .

Решение

Интегрируя, находим . Здесь постоянная интегрирования обозначена , так как левая часть последнего ра­венства неотрицательна. Умножая последнее равенство на 2, получаем . Это уравнение семейства концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусом .

Пример 6.4

Решить уравнение .

Решение

Разделяя переменные, получим: .

Интегрируя последнее уравнение, будем иметь: , где . Здесь произвольная постоянная записана как для удобной записи общего решения.Используя формулу для суммы логарифмов и потенцируя последнее равенство, получим . Если считать , то это решение можно записать . Это же решение описывается равенством , в котором произвольная постоянная любого знака. Это семейство прямых, проходящих через начало координат.

Пример 6.5

Решить задачу Коши

Решение

;

– общее решение уравнения.

Найдем частное решение, удовлетворяющее условию .

.

Подставим найденное значение: , ,

, – решение задачи Коши.

Пример 6.6. (Задача об охлаждении тела.)

Скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и тем­пературой воздуха. Температура воздуха равна 20° С. Известно, что в течение 20 мин тело охлаждается от 100 до 60° С. Определить закон изменения температуры в теле в зависимости от времени I.

Решение.

Согласно условию задачи имеем:

,

где k- коэффициент пропорциональности. Разделяя переменные и интегрируя, получаем

,

что после потенцирования дает

и, следовательно,

Для определения используем начальное условие: при . Отсюда: . Поэтому

.

Коэффициент пропорциональности k определяем из дополнительного условия: при . Отсюда:

или

и, следовательно,

Итак, искомая функция

.