Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое может быть записано в виде

где Р(х) и Q(х) – известные функции.

Можно предложить следующий метод решения этого уравнения. Неизвестную функцию y(x) будем искать в виде , где неизвестная функция, а - некоторая функция, выбранная специальным образом. (Способ выбора будет описан позже). Производная равна: . Подставляя и в исходное уравнение, получаем

+ .

Полученное уравнение преобразуем к виду

Подберем функцию так, чтобы было выполнено: .

(Это уравнение для определения функции является уравнением с разделяющимися переменными и нас интересует не его общее решение, а какое-либо частное решение не равное тождественно нулю). Тогда для определения имеем уравнение . Из этого уравнения при известной функции находим :

= ,

где С – произвольная постоянная.

Тогда общее решение имеет вид:

Пример. Найти решение задачи Коши:

, .

Вначале найдем общее решение этого уравнения. Будем искать в виде . Тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получаем: + ; .

Выберем функцию из условия . Уравнение для функции является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение: , ; ; ; .

Найдем функцию : ; ; ; .

Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид

Произвольную постоянную С определим из условия :

; .

Ответ: .

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

Данное дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем искать в виде . Тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получаем: ; .