Однородные уравнения.

Определение. Однородным уравнением называется дифференциальное уравнение первого порядка, которое может быть записано в виде:

Можно предложить следующий метод его решения. Неизвестную функцию будем искать в виде , где - неизвестная функция. Тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получаем:

Данное уравнение представим в виде

Полученное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными для функции . Метод его решения рассмотрен ранее.

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Данное уравнение является однородным. Будем искать неизвестную функцию в виде . Тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получаем:

Полученное уравнение преобразуем к виду

Разделяем переменные

Интегрируем правую и левую части

+ .

(В нашем случае произвольную постоянную удобнее обозначить не С, а , где . Вычисляя интегралы в правой и левой частях уравнения, получаем

Потенцируя, имеем

Избавляясь от знака модуля, получаем

Поскольку , то полученное соотношение может быть представлено в виде

Заметим, что в уравнении , выражение при , . Следовательно, функции и являются решениями дифференциального уравнения для неизвестной функции , а значит, функции и являются решениями исходного дифференциального уравнения.