Уравнения с разделяющимися переменными.

Определение. Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение, которое может быть записано в виде:

.

Можно предложить следующую схему решения этого уравнения. Разделяем переменные, то есть уравнение переписываем в виде:

.

Интегрируя левую и правую части этого уравнения, получаем:

,

где С – произвольная постоянная.

Полученное соотношение является общим интегралом исходного дифференциального уравнения.

Замечание. Если функция равна нулю в точках , то функции , ,…., являются решениями исходного уравнения. При изложенном методе такие решения могут быть потеряны, поэтому их рекомендуется выписать отдельно.

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде y(x,y)=C).

.

Для того, что бы убедиться, что данное уравнение действительно является уравнением с разделяющимися переменными, выразим . Имеем

Тогда , . Заметим, что . Разделяем переменные:

.

Интегрируя правую и левую части, получаем

.

Приведем схему вычисления интеграла: = .

После вычисления интегралов имеем: .

Ответ: .

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.

.

Уравнение запишем в виде

.

Тогда , . Заметим, что при . Следовательно, функция является решением данного дифференциального уравнения.

В случае разделяем переменные:

.

Интегрируя правую и левую части, получаем

.

Приведем схему вычисления интеграла

После вычисления интегралов имеем: , .

Потенцируя данное выражение, получаем . Отметим, что решение содержится в полученном выражении общего решения при С=0.

Ответ: .

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

.

Тогда , . Заметим, что . Разделяем переменные:

.

Интегрируя правую и левую части, получаем

.

После вычисления интегралов имеем: .

Ответ: .

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

.

Поясним, что такая запись подразумевает под дифференциал независимой переменной, под - дифференциал неизвестной функции ( = ).

Перенесем выражения, содержащие в левую часть уравнения, выражения, содержащие - в правую часть. После некоторых простых преобразований, получаем

.

Разделяем переменные

.

Интегрируя правую и левую части, получаем .

Приведем схему нахождения интеграла

.

После вычисления интегралов имеем

.

Потенцируя полученное выражение, имеем .

Ответ: .