Основные теоремы о непрерывных функциях

Теорема 1. (I теорема Больцано-Коши). Пусть функция определена и непрерывна на и на концах принимает значения разных знаков, т.е. , тогда существует точка , такая что .

Замечание. О единственности точки ничего не утверждается.

Доказательство: Допустим, что , . Разделим отрезок пополам, т.е. рассмотрим точку . Возможны 3 случая: 1) ;

(рассмотрим отрезок );

3) .

(рассмотрим отрезок );

Рассмотрим отрезок , где и .

Теперь разделим пополам и тоже самое проделаем для данного отрезка. Продолжим этот процесс до -ого шага.

Получим отрезок , где , . Разделим отрезок пополам и рассмотрим 3 случая:

1) ;

2) (рассмотрим отрезок );

3) (рассмотрим отрезок ).

Либо этот процесс через конечное число шагов закончится, когда , , либо продолжится до бесконечности. Получим последовательность вложенных отрезков: и т.к. , то выполняются все условия теоремы о вложенных отрезках. Из этой теоремы следует, что . К тому же можно сказать, что монотонно возрастает и стремится к ( и ), монотонно убывает и стремится к ( и ), и как известно , . Из-за непрерывности функции следует, что если , с другой стороны , то получим, что , а также , с другой стороны , то получим, что . Получили, что . Ч.т.д.

Теорема 2. (II теорема Больцано-Коши). Пусть функция определена и непрерывна на . Обозначим: , и допустим, что . Тогда, для , , что .

Иначе говоря, значения непрерывной функции охватывают весь отрезок .

Доказательство: Введем дополнительную функцию . Понятно, что если непрерывна на , то будет также непрерывна на и , . Т.к. , то и , т.е. для функции на отрезке выполняются все условия I теоремы Больцано-Коши. Следовательно, обязательно существует такая точка , что , и т.к.

Теорема 3. (I теорема Вейерштрасса). Любая непрерывная на отрезке функция ограниченная.

Доказательство: показать, что функция – ограниченная, означает показать, что что . Пусть это условие нарушается, тогда для любого натурального числа существует что . Т.к. ограниченная то по теореме Больцано-Вейерштрасса тогда при .

С другой стороны, а – непрерывная, то . Оказывается, что с одной стороны, (к конечному числу), а с другой стороны . Пришли к противоречию, т.е. – ограниченная. Ч.т.д.

Например, функция определена на отрезке , но неограниченная, т.к.в точке функция не является непрерывной.

Если функция непрерывна на , то – ограниченная функция, т.е. если обозначить , то множество будет ограниченным. Тогда .

Возникает вопрос, достигает ли функция значений ?

Теорема 4. (II теорема Вейерштрасса). Любая непрерывная на отрезке функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения, т.е. , что и .

Доказательство: допустим это так, т.е. и для Обозначим через . Функция – непрерывна на отрезке , т.к. – непрерывная функция и . Следовательно, по I теореме Вейерштрасса, функция – ограниченная, т.е. , что . Следовательно, . А это противоречит, тому, что не должна быть верхней гранью, но . Пришли к противоречию. Т.о. , что .

С помощью данной теоремы перефразируем II теорему Больцано-Коши:

Пусть функция определена и непрерывна на . Обозначим и , тогда значения функции охватывают весь отрезок , т.е , , что .