Точки разрыва функции

Пусть функция , определена в окрестности точки , кроме, быть может, самой точке . Точку называют точкой разрыва функции в следующих случаях:

1) функция не определена в этой точке;

2) функция определена в точке , но:

· не существует ;

· существует , но .

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точки разрыва первого рода. Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. и . При этом:

· если , или , но не определена в точке , то называется точкой устранимого разрыва;

· если , то точка называется точкой конечного разрыва. Величину называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Точки разрыва второго рода. Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции , если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности (в этом случае точка называется точкой бесконечного разрыва).

Исследуем на непрерывность функцию в точке .

Пример1. ;

, и , т.е. односторонние пределы существуют, равны между собой и

· если , то в точке функция терпит устранимый разрыв.

· если , функция будет непрерывной в этой точке.

Пример2. ;

, и ; односторонние пределы существуют, но не равны между собой, откуда следует, что в точке функция терпит конечный разрыв, скачок функции: .

Пример3. ;

, и , т.е. односторонние пределы равны откуда следует, что в точке функция терпит разрыв второго рода (бесконечный разрыв).

Пример4. ;

тогда не существует (т.к. при , а при ) откуда следует, что в точке функция терпит разрыв второго рода.