Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.

Пусть функция определена и непрерывна на множестве . Это значит, что функция непрерывна в любой точке множества . В любой точке , функция будет непрерывна, т.е. . Возникает вопрос, можно ли найти для данного числа число , которое годилось для любой точки одновременно (иногда удается, иногда нет).

Пусть функция определена на множестве .

Определение.Функция называется равномерно непрерывной на множестве , если .

Понятно, что любая равномерно непрерывная функция также непрерывна, но обратное не всегда верно.

Рассмотрим два примера. Исследуем на равномерную непрерывность две функции и на множестве . Обе эти функции непрерывны на .

Пример 1. ;

Берем и любые точки и , тогда,

, т.е.

, т.к. что равномерно непрерывная функция на множестве .

Пример 2. ;

Берем и любые точки , , , тогда,

– это выражение должно быть . Но

. Получается . Так как и мы имеем возможность подобрать , тогда это говорит о том, что для функции вряд ли можно взять число , которое годилось для всех .

Из вышеприведенных примеров следует, что равномерно непрерывная на интервале , а непрерывная, но ничего нельзя сказать на счет равномерной непрерывности на интервале .

Отрицание равномерной непрерывности:

, что но .

Теперь покажем, что функция на множестве не является равномерно непрерывной. Возьмем , тогда пусть , оценим . Оказывается, что если изучать функцию на замкнутом отрезке , то функция будет равномерно непрерывной.

Теорема (Кантора).Любая непрерывная на отрезке функция – равномерно непрерывная.

Доказательство: доказательство проведем от противного. Допустим, что непрерывна на отрезке , но не является равномерно непрерывной, т.е.

что . Возьмем , тогда

что . Рассмотрим первую последовательность , она содержится в , т.е. она ограниченная. По теореме Больцано-Вейерштрасса , т.е. можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к числу . Теперь рассмотрим подпоследовательность последовательности .

;

, т.к и при . Получили, что

и , но . Если , то по непрерывности , и если , то , то имеет предел, и он равен нулю. Следовательно, для , пришли к противоречию любая непрерывная на отрезке функция – равномерно непрерывная.

Замечание 1. Здесь важнейшую роль играет замкнутость отрезка , потому что, если бы мы имели полузамкнутый отрезок , мы можем выделить , где может совпадать с , где функция не является непрерывной.

Например функция – непрерывная, но не является равномерно непрерывной на (доказать самостоятельно).

Замечание 2. Теорема Кантора дает достаточное условие для равномерной непрерывности.