Непрерывность элементарных функций

Определение. Функция называется непрерывной на множестве , если в каждой точке множества она непрерывна.

В силу того, что сумма, произведение и частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная (для частного за исключением тех значений аргумента, в которых делитель равен нулю), из непрерывности функции вытекает непрерывность следующих функций:

1) ;

2) ;

3) , функция многочлен, непрерывная функция на интервале .

4) , отношение двух многочленов называется рациональной функцией, которая определена и непрерывна там, где .

Тригонометрические функции.

Рассмотрим функцию и докажем, что она непрерывна на интервале .

Доказательство: доказать, что функция непрерывна в точке , значит:

,

что функция непрерывна на интервале .

Функция непрерывна на интервале , т.к. как сложная функция – непрерывна.

Функция непрерывна там, где .

Обратные тригонометрические функции.

Рассмотрим функцию y=sinx на отрезке . На этом отрезке функция y=sinx монотонно возрастает, и следовательно, обратима. Обозначим эту функцию через arcsinx. Таким образом, функция y=arcsinx является обратной к функции y=sinx на отрезке . , .

Рассмотрим функцию y=cosx на отрезке . На этом отрезке функция y=cosx монотонно убывает, и следовательно, обратима. Обозначим эту функцию через arccosx. Таким образом, функция y= arccosx является обратной к функции y=cosx на отрезке . , .

Рассмотрим функцию y= tgx на отрезке . На этом отрезке функция y=tgx монотонно возрастает, и следовательно, обратима. Обозначим эту функцию через arctgx. Таким образом, функция y=arctgx является обратной к функции y=tgx на отрезке . , .

Рассмотрим функцию y= сtgx на отрезке . На этом отрезке функция y=сtgx монотонно убывает, и следовательно, обратима. Обозначим эту функцию через arсctgx. Таким образом, функция y=arсctgx является обратной к функции y=сtgx на отрезке . , .

Функции , в силу теоремы об обратной функции, непрерывны при всех значениях , при которых эти функции определены.

Показательная функция f(x)=a^x при а>1возрастает, a при 0<а<1 убывает на множестве R;область ее значений – множество R₊. Следовательно, она обратима, и для нее определена обратная функция g(x), область определения которой – множество R₊ положительных чисел, а область значений – множество R. Эту функцию называют логарифмической с основанием а и обозначают g(x)=log_ax. Основные свойства логарифмической функции вытекают из свойств показательной функции и теоремы об обратной функции. Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел: D(log_ax)=R₊. Область значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел: E(log_ax)=R. Логарифмическая функция возрастает при a>1 и убываетпри 0<a<1 на всей области определения R₊.

Показательные и логарифмические функции непрерывны в области своего определения.

Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.