Определение.Пусть имеем функцию 
, которая определена на множестве 
и удовлетворяет следующему свойству:
, такие функции называются взаимнооднозначными.
Для таких функций вводится понятие обратной функции :
пусть 
, 
, 
. Функция 
называется обратной функцией функции , а – обратимой функцией: 
. Таким образом, для того, чтобы функция была обратима, необходимо и достаточно, чтобы она была взаимнооднозначной.
Например, функция 
определена на интервале 
, но для того, чтобы ввести понятие обратной функции необходимо рассмотреть функцию либо на полуинтервале 
, либо – 
, где функция будет взаимнооднозначной, и следовательно обратимой.
Определение.Функция 
называется монотонно возрастающей (убывающей), если 
( 
). Монотонно убывающие или возрастающие функции называтся монотонными.
Таким образом, если функция монотонна, то она взаимнооднозначна, следовательно, обратима.
Лемма.Для любой монотонной функции всегда существует обратная функция, причем если 
, то 
, и если 
, то 
.
Доказательство: Если 
, то 
. Докажем, что 
. Пусть 
. Получили, что 
но отсюда 
, пришли к противоречию.
Теорема.Если монотонная функция определена и непрерывна на множестве , , то 
, 
, тоже будет монотонной и непрерывной, причем если , то , и если , то .
