Определение. Пусть функция 
определена на множестве 
и принимает значения из 
, а функция 
определена на множестве и принимает значения из 
, тогда функция 
по следующему правилу 
называется сложной функцией.
Например, 
Теорема.Если функция 
непрерывна в точке 
и 
непрерывна в точке 
, то сложная функция непрерывна в точке .
Доказательство: доказательство проведем с помощью определения по Гейне.
Непрерывность функции 
в точке означает, что 
, 
; непрерывность функции 
в точке 
означает, что 
, 
. Доказать, что непрерывна в точке , означает доказать, что , 
. Возьмем любую последовательность . Из непрерывности функции следует, что 
. Обозначим 
через 
. Из того, что 
. ч.т.д.
