Необходимое и достаточное условие коши для существования предела

Теорема. Для того чтобы функция при имела конечный предел, т.е. , необходимо и достаточно, чтобы для что для , которые находятся в проколотой окрестности точки т.е. и , то .

Доказательство:

Необходимость. Пусть существует конечный предел . Тогда, для , что , .

Берем такие, что:

и , тогда и . Следовательно

Достаточность. Используем определение понятия предела функции на «языке последовательностей». Пусть условие, сформулированное в теореме, выполнено, и по произвольно взятому установлено соответствующее , такое, что выполняется условие теоремы.

Сперва докажем, что если есть любая последовательность значений из , сходящаяся к , т.е. то последовательность имеет предел, т.е. существует некоторое число , что .

По условию теоремы имеем, что , , , , .

Берем произвольную последовательность, такую, что , . Тогда, для данного числа существует номер , что , . Так как при , для любого тоже больше чем , то . Тогда в условиях теоремы, подбирая , имеем, что , т.е. фундаментальная последовательность, и следовательно имеет предел.

Теперь покажем, что для любой последовательности , предел последовательности , который существует, это одно и то же число.

Пусть это не так, т.е. существуют хотя бы две последовательности:

,

и .

Рассмотрим новую последовательность: , тогда .

Так как то , но с другой стороны предел последовательности не существует, т.к. существуют две подпоследовательности .

, (т.е. для последовательности существуют два различных частных предела) не существует, что противоречит тому факту, что если то .