Предел функции

Пусть функция определена на множестве .

Определение. Точка – называется предельной точкой множества или точкой сгущения множества , если в любой окрестности существует точка из множества , отличная от ( и ), т.е

Эквивалентно этому определению: точка –называется предельной точкой множества , если существует последовательность , , что при .

Точка – может принадлежать множеству , может и нет.

Например, для множества – все точки являются предельными, включая и , здесь , но . Сформулируем два, эквивалентных между собой, определения предела функции в точке.

Пусть функция определена на множестве и – предельная точка для множества .

Определение 1 (на «языке последовательностей», или по Гейне). Число А называется пределом функции в точке (или при ), если для любой последовательности аргумента , , , сходящейся к точке (т.е ), последовательность соответствующих значений функции , сходится к числу А (т.е. ).

В этом случае пишут или при .

Это определение коротко можно записать так:

.

Определение 2 (на «языке », или по Коши). Число А называется пределом функции в точке (или при ), если для любого положительного найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Это определение коротко можно записать так:

.

Геометрический смысл предела функции . Для любой -окрестности точки найдется такая -окрестность точки , что для всех из этой -окрестности соответствующие значения функции лежат в -окрестности точки . Иными словами, точки графика функции лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми , . Очевидно, что величина зависит от выбора и , поэтому пишут .

Отрицание определения 1 (по Гейне).

что .

Отрицание определения 2 (по Коши).

но .

Теорема.Определение 1 и 2 эквивалентны.

Доказательство. Докажем сперва, что из определения 1 следует определение 2. Доказательство проведем от противного: пусть имеет место определение по Гейне, но не имеет место определение по Коши, т.е. . Пусть , и как было уже отмечено что . Из условия , что , и . Из того, что . Мы построили последовательность , которая не равна , а , что противоречит определению Гейна.

Обратное. Пусть имеет место определение Коши, докажем, что имеет место определение по Гейне тоже. Возьмем любую последовательность и , тогда для по которому подберем некоторое число , что . Возьмем данное число Так как , то для данного можно найти такой номер , что Если для , тогда по определению Коши . Итак, мы нашли такой номер , что , что выполняется определение по Гейне.

Лемма. Пусть . Если , тогда окрестность , что и то .

Доказательство: Пусть . Обозначим . Тогда для данного , что , , это значит что т.е. , т.к. .

Предел функции при .

Пусть функция определена в промежутке .

Определение. Число А называется пределом функции при , если для любого положительного числа найдется такое число , что при всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Это определение коротко можно записать так:

.

Если , то пишут , если , то – . Геометрический смысл этого определения таков: для , что при или при соответствующие значения функции попадут в -окрестность точки , т.е. точки графика лежат в полосе шириной , ограниченной прямыми и

О

y

x

y=f(x)

 

Например.